2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第33讲 等比数列及其前n项和

所以an＝a1q

n－1

n－11?＝12×??3?.

n－1

1?【答案】 (1)63 (2)12×??3?

等比数列常见性质的应用

等比数列性质的应用可以分为三类 (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形． (3)前n项和公式的变形．

根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．

[提醒] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．

1

1．(一题多解)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )

4A．2 1C.

2

解析：选C.法一：因为a3a5＝a24，a3a5＝4(a4－1)， 所以a24＝4(a4－1)， 所以a24－4a4＋4＝0，

a42

所以a4＝2.又因为q3＝＝＝8，

a11

4

11

所以q＝2，所以a2＝a1q＝×2＝，故选C.

42法二：因为a3a5＝4(a4－1)， 所以a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，

1

将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，

4解得q＝2，

1

所以a2＝a1q＝，故选C.

2

B．1 1D.

8

2．已知等比数列{an}的首项a1＝－1，其前n项和为Sn，若解析：由

S1031

＝，则公比q＝________． S532

S10－S5S10311

＝，a1＝－1知公比q≠1，则＝－.由等比数列前n项和的性质知S532S532

11

S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－，q＝－.

322

1

答案：－

2

等比数列运算中的分类讨论

已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A．(－∞，－1]

B．(－∞，0)∪[1，＋∞) C．[3，＋∞)

D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

【解析】 设等比数列{an}的公比为q， 11

则S3＝a1＋a2＋a3＝a2(＋1＋q)＝1＋q＋.

qq1

当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2

q

1

q·＝3，当且仅当q＝1时，等号成立； q

1

（－q）·（－）＝－1，当且仅当q＝－1时，等

q

1

当公比q<0时，S3＝1－(－q－)≤1－2

q号成立．

所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 【答案】 D

等比数列的公比q<0时，相邻两项一定异号，相隔一项的两项符号一定相同；等比数列的公比q>0时，数列中的各项符号相同．用等比数列前n项和公式时，如果其公比q不确定，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．

3

已知四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为－，求这四个数．

2解：法一：设这四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则由题意知，

a4q6＝1， ①a2q3＝±1， ③????

得? ?39222

aq（1＋q）＝－， ②aq（1＋q）＝. ④??24??11

把a2q2＝代入④，得q2－q＋1＝0，此方程无解；

q4117

把a2q2＝－代入④，得q2＋q＋1＝0，

q41

解此方程得q＝－或q＝－4.

4

11

当q＝－时，a＝8；当q＝－4时，a＝－.

481111

所以这四个数为8，－2，，－或－，，－2，8.

2882

法二：①当所求等比数列的各项同号时，由法一知，此时无解．

②当所求等比数列的各项异号时，设这个数列的前四项依次为aq－3，－aq－1，aq，－aq3， a4＝1，????a＝±1，

由? 1?3得?23???aq＋2q－a＝0.?a?q－q?＝－2，?

33

把a＝1代入aq2＋q－a＝0，得q2＋q－1＝0，

221

解得q＝或q＝－2；

2

33

把a＝－1代入aq2＋q－a＝0，得－q2＋q＋1＝0，

221

解得q＝－或q＝2.

2

1111

综上，可求得这四个数为8，－2，，－或－，，－2，8.

2882

[基础题组练]

1．(2019·湖南湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( )

A．1 1

C．1或－ 2

1B．－ 21

D．－1或

2

a1q2＝7，

1

?

解析：选C.当q＝1时，a＝7，S＝21，符合题意；当q≠1时，?a（1－q）得q

＝21，

1－q?

n

3

3

11

＝－.综上，q的值是1或－，故选C.

22

2．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( ) A．135 C．95

B．100 D．80

解析：选A.由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其

3

3603?首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×??2?＝135. 402

3．等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( ) A．12 C．8

B．10 D．2＋log35

解析：选B.由题a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.

4．(一题多解)(2019·湖北武汉联考)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10

等于( )

A．7 C．－5

B．5 D．－7

?a4＋a7＝a1q3＋a1q6＝2，

解析：选D.法一：设数列{an}的公比为q，则由题意得?所以

4529

aa＝aq×aq＝aq＝－8，11?561

1

?q3＝－2，??q3＝－2，或?所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7. ?

??a1＝1?a1＝－8，

?a4＋a7＝2，

法二：由?

?a5a6＝a4a7＝－8，?a4＝－2，?a4＝4，解得?或?

?a7＝4?a7＝－2.

1?q3＝－2，??q3＝－2，所以?或?所以a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.

??a1＝1?a1＝－8，

5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )

A．13 C．11

B．12 D．10

解析：选B.设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an