2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第33讲 等比数列及其前n项和

第3讲 等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念 (1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(q≠0，n∈N*)．

(2)等比中项

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?G2

＝ab．

“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1．

－

an＋1＝anna，q＝1，??1(2)前n项和公式：Sn＝?a1（1－qn）a1－anq

＝，q≠1.?1－q?1－q3．等比数列的性质

已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N*) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r． (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．

(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．

导师提醒

1．正确区别等比中项与等差中项

(1)只有当两个数同号且不为0时，才有等比中项．

(2)两个数a，b的等差中项只有一个，两个同号且不为0的数的等比中项有两个． 2．正确理解等比数列的单调性

当q>1，a1>0或01，a1<0或00时 ，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列； 当q＝－1时，{an}是摆动数列． 3．记住等比数列的几个常用结论

?1??an?(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，?a?，{a2n}，{an·bn}，?b?仍是等比

?n?

?n?

数列．

(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋

3k，…为等比数列，公比为

qk.

(3)一个等比数列各项的k次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂． (4){an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，

T2nT3n

，，…成等比数列． TnT2n

a1. 1－q

(5)当q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时k＝

(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)与等差数列类似，等比数列的各项可以是任意一个实数．( ) (2)公比q是任意一个常数，它可以是任意实数．( ) (3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )

a（1－an）(4)数列{an}的通项公式是an＝a，则其前n项和为Sn＝.( )

1－a

n

答案：(1)× (2)× (3)× (4)×

(教材习题改编)等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于( ) A．27 C.81 2

B．36 D．54

解析：选C.由a3＝12，a4＝18，得

?a1q2＝12，163

解得a1＝，q＝， ?3

32

?a1q＝18，

5

16?3?81

所以a6＝a1q＝×?2?＝.故选C.

32

5

在等比数列{an}中，已知a7a12＝5，则a8a9a10a11＝( ) A．10 C．50

B．25 D．75

解析：选B.因为a7a12＝5，所以a8a9a10a11＝(a8a11)·(a9a10)＝(a7a12)2＝25.

在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 解析：由an＋1＝2an，知数列{an}是以a1＝2为首项，公比q＝2的等比数列，由Sn＝2（1－2n）

＝126，解得n＝6.

1－2

答案：6

(教材习题改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．

解析：设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.

所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案：27，81

等比数列基本量的运算(师生共研)

(1)(2019·武汉调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，

S4＝3a4＋2，则a1＝( )

A．－2 1C.

2

B．－1 2D.

3

(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式；

②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.

【解】 (1)选B.由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q2＝3q2－3，解得q3333

＝－1(舍)或q＝，将q＝代入S2＝3a2＋2中得a1＋a1＝3×a1＋2，解得a1＝－1.故选B.

2222

(2)①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.

由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.

n

1－（－2）

②若an＝(－2)n－1，则Sn＝.

3

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．

若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.

由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.

解决等比数列有关问题的2种常用思想

方程 的思想 等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，分类讨论 的思想 {an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a1（1－qn）a1－anq＝ 1－q1－q

763

1．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________．

44解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则S3＝a1（1－q6）

1－q

a1（1－q3）

1－q

7

＝，S6＝4

＝

6311

，解得q＝2，a1＝，则a8＝a1q7＝×27＝32. 444

答案：32

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2

＋b2＝2.

(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式； (2)若T3＝21，求S3.

解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1. 由a2＋b2＝2得d＋q＝3.① (1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②

?d＝3，?d＝1，

联立①和②解得?(舍去)，?

q＝0q＝2.??

因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1. (2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0， 解得q＝－5或q＝4.