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中考新定义综合性试题
参考答案与试题解析
一.解答题(共30小题) 1.(2008?镇江)阅读以下材料:
对于三个数a、b、c,用M(a,b,c)表示这三个数的平均数,用min(a,b,c)表示这三个数中最小的数.例如:M{﹣1,2,3}=解决下列问题:
(1)填空:min{sin30°,cos45°,tan30°}=
,如果min{2,2x+2,4﹣2x}=2,则x的取值范围为 0 ≤x≤
;min{﹣1,2,3}=﹣1;min{﹣1,2,a}=a(a≤﹣1);﹣1(a>﹣1)
1 ;
(2)①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x},求x.
②根据①,你发现了结论“如果M{a,b,c}=min{a,b,c},那么 a=b=c (填a,b,c的大小关系)”, 证明你发现的结论.
③运用②的结论,填空:若M{2x+y+2,x+2y,2x﹣y}=min{2x+y+2,x+2y,2x﹣y},则x+y= ﹣4 ;
2
(3)在同一直角坐标系中作出函数y=x+1,y=(x﹣1),y=2﹣x的图象(不需列表描点),通过观察图象,填
2
空:min{x+1,(x﹣1),2﹣x}的最大值为 1 .
【考点】二次函数的图象;解一元一次方程;一元一次不等式组的应用;一次函数的图象;特殊角的三角函数值.
【专题】压轴题;阅读型. 【分析】(1)因为用min(a,b,c)表示这三个数中最小的数.分别计算sin30°,cos45°,tan30°的值,因为sin30°最小,所以min{sin30°,cos45°,tan30°}=sin30度;
(2)结合题意,分情况讨论,将实际问题与数学思想联系起来,读懂题列出算式或一元一次不等式组即可求解; (3)作出正确的图象,是解题的关键.
【解答】解:(1)min{sin30°,cos45°,tan30°}=, 如果min{2,2x+2,4﹣2x}=2,则x的取值范围为0≤x≤1;
(2)①∵M{2,x+1,2x}=
=x+1.
法一:∵2x﹣(x+1)=x﹣1.当x≥1时, 则min{2,x+1,2x}=2,则x+1=2, ∴x=1.当x<1时,
则min{2,x+1,2x}=2x,则x+1=2x, ∴x=1(舍去).
1
综上所述:x=1. 法二:∵M{2,x+1,2x}=∴∴
=x+1=min{2,x+1,2x},
∴x=1. ②a=b=c.
证明:∵M{{a,b,c}}=
,如果min{a,b,c}=c,则a≥c,b≥c.则有
=c,
即a+b﹣2c=0.
∴(a﹣c)+(b﹣c)=0. 又a﹣c≥0,b﹣c≥0. ∴a﹣c=0且b﹣c=0. ∴a=b=c.
其他情况同理可证,故a=b=c. ③﹣4;
(3)作出图象. 最大值是1.
【点评】解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系. 2.(2015春?大冶市校级月考)阅读理解:
对于三个数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数.例如:M{﹣1,2.3}=min{﹣1,2,3}=﹣1 min{﹣1,2,a}=
3
=;
2
﹣2
(1)填空:①M{(﹣2),(﹣3),(﹣)}= ;②min{sin60°,cos45°,tan30°}= ;
③如果min{3,2x﹣5,﹣3x+24}=3,则x的取值范围为 4≤x≤7 . 探究归纳:
(2)①如果M{2015,x+2014,2x+2013}=min{2015,x+2014,2x+2013},求x的值;
①根据①,你发现了结论“如果M{a,b,c}=min={a,b,c},那么 a=b=c (填a,b,c的大小关系)”.证明你发现的结论; 迁移运用:
2
③运用②的结论,填空:M{3x+y,x+2y+11,4x﹣y﹣2}=min{3x+y,x+2y+11,4x﹣y﹣2},则x+y= ﹣11 . 【考点】一元一次不等式组的应用. 【专题】阅读型. 【分析】(1)①根据M{a,b,c}表示这三个数的平均数,进行解答;
②因为用min(a,b,c)表示这三个数中最小的数.分别计算sin60°,cos45°,tan30°的值,因为sin60°最小,所以min{sin60°,cos45°,tan30°}=sin60°;
③由得出2x﹣5≥3,且﹣3x+24≥3,两个式子同时成立,据此即可求得x的范围;
(2)①结合题意,分情况讨论,将实际问题与数学思想联系起来,读懂题列出算式即可求解;
②根据①可以得到结论:当三个数的平均数等于三个数中的最小的数,则这几个数相等,据此即可写出; ③根据结论,三个数相等,即可求得x,y的值,从而求得x+y的值;
【解答】解:(1)①M{(﹣2),(﹣3),(﹣)}=;
②min{sin60°,cos45°,tan30°}=,故答案为:; ③∵min{3,2x﹣5,﹣3x+24}=3, ∴
32﹣2
=,故答案为:
解得:4≤x≤7. 故答案为:4≤x≤7.
(2)①M{2015,x+2014,2x+2013}=
=x+2014,
∵2x+2013﹣(x+2014)=x﹣1.当x≥1时,
则min{2015,x+2014,2x+2013}=2015,则x+2014=2015, ∴x=1. 当x<1时,
则min{2015,x+2014,2x+2013}=2x+2013,则x+2014=2x+2013, ∴x=1(舍去). 综上所述:x=1.
②a=b=c.理由如下: ∵M{a,b,c}=
,
如果min{a,b,c}=c,则a≥c,b≥c. 则有
=c,即a+b﹣2c=0,
∴(a﹣c)+(b﹣c)=0. 又∵a﹣c≥0,b﹣c≥0, ∴a﹣c=0且b﹣c=0. ∴a=b=c.
其他情况同理可证,故a=b=c. 故答案为:a=b=c.
(3)由②的结论,若M{3x+y,x+2y+11,4x﹣y﹣2}=min{3x+y,x+2y+11,4x﹣y﹣2}, 则3x+y=x+2y+11=4x﹣y﹣2,
3
解得:x=,y=﹣,
∴x+y=﹣11. 故答案为:﹣11.
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用,解决的关键是读懂题意,据题意结合方程和不等式去求解,考查综合应用能力.
3.(2015?江都市模拟)设xi(i=1,2,3,…,n)为任意代数式,我们规定:y=max{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,…,xn中的最大值,如y=max{1,2}=2 (1)求y=max{x,3};
(2)借助函数图象,解决以下问题: ①解不等式 max{x+1,}≥2
②若函数y=max{|x﹣1|,x+a,x﹣4x+3}的最小值为1,求实数a的值. 【考点】二次函数的性质;一次函数的性质;反比例函数的性质. 【专题】新定义. 【分析】(1)根据规定,分x≥3和x<3两种情况求解;
2
(2)①画出函数y=x+1和y=的图象得到交点坐标为(1,2),然后根据规定写出不等式的解集即可; ②画出函数y=|x﹣1|,y=x﹣4x+3的图象,可知最小值为y=x+a与抛物线的交点,令y=1根据抛物线解析式求出x的值,再代入直线解析式求出a的值即可. 【解答】解:(1)y=(2)①
;
2
由图可知,两函数图象交点为(1,2), ∴不等式max{x+1,}≥2的解集为x>0; ②
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