中考压轴题第25题新定义试题汇总

中考新定义综合性试题

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题） 1．（2008?镇江）阅读以下材料：

对于三个数a、b、c，用M（a，b，c）表示这三个数的平均数，用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2，3}=解决下列问题：

（1）填空：min{sin30°，cos45°，tan30°}=

，如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为 0 ≤x≤

；min{﹣1，2，3}=﹣1；min{﹣1，2，a}=a（a≤﹣1）；﹣1（a＞﹣1）

1 ；

（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．

②根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么 a=b=c （填a，b，c的大小关系）”， 证明你发现的结论．

③运用②的结论，填空：若M{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}=min{2x+y+2，x+2y，2x﹣y}，则x+y= ﹣4 ；

2

（3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=（x﹣1），y=2﹣x的图象（不需列表描点），通过观察图象，填

2

空：min{x+1，（x﹣1），2﹣x}的最大值为 1 ．

【考点】二次函数的图象；解一元一次方程；一元一次不等式组的应用；一次函数的图象；特殊角的三角函数值．

【专题】压轴题；阅读型． 【分析】（1）因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．分别计算sin30°，cos45°，tan30°的值，因为sin30°最小，所以min{sin30°，cos45°，tan30°}=sin30度；

（2）结合题意，分情况讨论，将实际问题与数学思想联系起来，读懂题列出算式或一元一次不等式组即可求解； （3）作出正确的图象，是解题的关键．

【解答】解：（1）min{sin30°，cos45°，tan30°}=， 如果min{2，2x+2，4﹣2x}=2，则x的取值范围为0≤x≤1；

（2）①∵M{2，x+1，2x}=

=x+1．

法一：∵2x﹣（x+1）=x﹣1．当x≥1时， 则min{2，x+1，2x}=2，则x+1=2， ∴x=1．当x＜1时，

则min{2，x+1，2x}=2x，则x+1=2x， ∴x=1（舍去）．

1

综上所述：x=1． 法二：∵M{2，x+1，2x}=∴∴

=x+1=min{2，x+1，2x}，

∴x=1． ②a=b=c．

证明：∵M{{a，b，c}}=

，如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c．则有

=c，

即a+b﹣2c=0．

∴（a﹣c）+（b﹣c）=0． 又a﹣c≥0，b﹣c≥0． ∴a﹣c=0且b﹣c=0． ∴a=b=c．

其他情况同理可证，故a=b=c． ③﹣4；

（3）作出图象． 最大值是1．

【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 2．（2015春?大冶市校级月考）阅读理解：

对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{﹣1，2.3}=min{﹣1，2，3}=﹣1 min{﹣1，2，a}=

3

=；

2

﹣2

（1）填空：①M{（﹣2），（﹣3），（﹣）}= ；②min{sin60°，cos45°，tan30°}= ；

③如果min{3，2x﹣5，﹣3x+24}=3，则x的取值范围为 4≤x≤7 ． 探究归纳：

（2）①如果M{2015，x+2014，2x+2013}=min{2015，x+2014，2x+2013}，求x的值；

①根据①，你发现了结论“如果M{a，b，c}=min={a，b，c}，那么 a=b=c （填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论； 迁移运用：

2

③运用②的结论，填空：M{3x+y，x+2y+11，4x﹣y﹣2}=min{3x+y，x+2y+11，4x﹣y﹣2}，则x+y= ﹣11 ． 【考点】一元一次不等式组的应用． 【专题】阅读型． 【分析】（1）①根据M{a，b，c}表示这三个数的平均数，进行解答；

②因为用min（a，b，c）表示这三个数中最小的数．分别计算sin60°，cos45°，tan30°的值，因为sin60°最小，所以min{sin60°，cos45°，tan30°}=sin60°；

③由得出2x﹣5≥3，且﹣3x+24≥3，两个式子同时成立，据此即可求得x的范围；

（2）①结合题意，分情况讨论，将实际问题与数学思想联系起来，读懂题列出算式即可求解；

②根据①可以得到结论：当三个数的平均数等于三个数中的最小的数，则这几个数相等，据此即可写出； ③根据结论，三个数相等，即可求得x，y的值，从而求得x+y的值；

【解答】解：（1）①M{（﹣2），（﹣3），（﹣）}=；

②min{sin60°，cos45°，tan30°}=，故答案为：； ③∵min{3，2x﹣5，﹣3x+24}=3， ∴

32﹣2

=，故答案为：

解得：4≤x≤7． 故答案为：4≤x≤7．

（2）①M{2015，x+2014，2x+2013}=

=x+2014，

∵2x+2013﹣（x+2014）=x﹣1．当x≥1时，

则min{2015，x+2014，2x+2013}=2015，则x+2014=2015， ∴x=1． 当x＜1时，

则min{2015，x+2014，2x+2013}=2x+2013，则x+2014=2x+2013， ∴x=1（舍去）． 综上所述：x=1．

②a=b=c．理由如下： ∵M{a，b，c}=

，

如果min{a，b，c}=c，则a≥c，b≥c． 则有

=c，即a+b﹣2c=0，

∴（a﹣c）+（b﹣c）=0． 又∵a﹣c≥0，b﹣c≥0， ∴a﹣c=0且b﹣c=0． ∴a=b=c．

其他情况同理可证，故a=b=c． 故答案为：a=b=c．

（3）由②的结论，若M{3x+y，x+2y+11，4x﹣y﹣2}=min{3x+y，x+2y+11，4x﹣y﹣2}， 则3x+y=x+2y+11=4x﹣y﹣2，

3

解得：x=，y=﹣，

∴x+y=﹣11． 故答案为：﹣11．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决的关键是读懂题意，据题意结合方程和不等式去求解，考查综合应用能力．

3．（2015?江都市模拟）设xi（i=1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y=max{x1，x2，x3，…，xn}表示x1，x2，…，xn中的最大值，如y=max{1，2}=2 （1）求y=max{x，3}；

（2）借助函数图象，解决以下问题： ①解不等式 max{x+1，}≥2

②若函数y=max{|x﹣1|，x+a，x﹣4x+3}的最小值为1，求实数a的值． 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质． 【专题】新定义． 【分析】（1）根据规定，分x≥3和x＜3两种情况求解；

2

（2）①画出函数y=x+1和y=的图象得到交点坐标为（1，2），然后根据规定写出不等式的解集即可； ②画出函数y=|x﹣1|，y=x﹣4x+3的图象，可知最小值为y=x+a与抛物线的交点，令y=1根据抛物线解析式求出x的值，再代入直线解析式求出a的值即可． 【解答】解：（1）y=（2）①

；

2

由图可知，两函数图象交点为（1，2）， ∴不等式max{x+1，}≥2的解集为x＞0； ②

4