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组合数学

例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态?

解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。

用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai表示第i行的ai列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。

例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d次，d 是奇数。证明n 偶数。

证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d是奇数，那么n必定是偶数。

例４ 从1到2n的正整数中任取n+1个，则这n+1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。

证 设n+1个数是a1, a2, ···, an+1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r1, r2,, ···, rn+1。这n+1个数仍在[1 , 2n]中，且都是奇数。而[1, 2n]中只有n个奇数，故必有ri=rj= r, 则ai= 2αi r, aj= 2αj r。若ai＞aj，则ai是aj 的倍数。

例5 设a1, a2, ···, am是正整数，则至少存在一对k和l, 0≤k

h证 设Sh= ? a i , Sh≡rh mod m, 0≤rh≤m-1，

i?1

h= 1 , 2 , ···, m. 若存在l, Sl≡0 mod m则命题成立．否则，1≤rh≤m-1．但h= 1 , 2 , ···,m．由

鸽巢原理，故存在rk= rl, 即Sk≡Sl mod m，不妨设l＞k．则 Sl－Sk= ak+1+ ak+2+…+ al≡0 mod m

例6 设a1, a2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．

证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．

例7 设a1, a2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即

ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i≤91。 则存在h 和k ，k > h，使得

ah+1+…+ ak= 39 j证 令Sj= a i ，j =1 , 2 , …,100。显然 ?i?1 1

S1

作序列S1, S2, …, S100, S1+39, …, S100+39. 共200项．其中最大项S100+39≤160+39 由鸽巢原理，必有两项相等．而且必是前 段中某项与后段中某项相等．设 Sk= Sh+ 39，k>h ? Sk－Sh=39 即 ah+1+ ah+2+…+ ak= 39

例：1) 求小于10000且的含1的正整数的个数 2) 求小于10000的含0的正整数的个数

解：1) 小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外.

故有9×9×9×9－1＝6560个. 含1的有：9999－6560=3439个

2) 上述方法不可直接套用来计算“含0”数的个数。

0019“含1”但“不含0”。

不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个 不含0小于10000的正整数有

9+92+93+94=(95－1)/(9－1)=7380个

含0小于10000的正整数有 9999－7380=2619个

多重集(Multiset)：元素可以重复出现的集合。如： Ｍ={a,a,a,b,c,c,d,d,d,d}， 也可简记为： M={3·a, 1·b, 2·c, 4·d} 元素也可重复出现无穷次，如无穷个a记为：∞·a

例 1000到9999 之间有多少个奇数，其各位数字互不相同？ 答案：5×8×8×7=2240

例 用数字1，1，1，3，8可以构造多少个不同的5位数？如果用1，1，1，3，3呢？ 答案： 5×4=20 (5,2)=10

定义：设r为正整数，从n个不同的元素的集合S中，取r个元素按次序排成一行，称为S的一个r-排列。

例 S={a,b,c}，则S有

3个1-排列：a，b，c

6个2-排列：ab，ac，ba，bc，ca，cb

6个3-排列：abc，acb，bac，bca，cab，cba

n元素集的r-排列数记为P(n,r)。若r>n，则P(n,r)=0。

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n元素集S的n-排列简称为S的排列或n个元素的排列（全排列）

定义 n!=n×(n-1)× …×2×1 0!=1 故 P(n,r )= n!/(n-r)! P(n,0)=1 P(n,n )= n!/0!=n!

例 将26个英语字母按任意次序排成一行，不允 许a、e、i、o、u五个元音中任意两个相邻， 有多少种排法？ 答案： 21! × P(22,5)

例 从{1,2,… ,9} 中任意取7个不同的数字排成一 行，不允许5和6相邻，可以组成多少个不同 的7位数？

答案： P(9,7)-2×6×P(7,5) = 151,200

例 10个人围圆桌入座，其中两人希望不坐在一起，有多少种方案？ 答案：9！-2×8！

例 5对夫妇出席一宴会，围一圆桌坐下，试问有几种不同的方案？若要求每对夫妇相邻又有多少种方案。

答案：9 ！=362880

25×4 ！=32×24=768

例 20个不同颜色的珠子串成一条项链，可以串成多少种不同的项链？ 答案：19!/2

设r为一非负整数，从具有n个不同元素的集合S中，取r个 元素而不考虑其次序，称为S的一个r-组合，即S的一 个r元素子集。

例如：若S={a,b,c,d}，则S有 1个0-组合：?

4个1-组合：{a}，{b}，{c}，{d}

6个2-组合：{a,b}，{a,c}，{a,d}，{b,c}，{b,d}，{c,d} 4个3-组合：{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d} 1个4-组合：{a,b,c,d}

例 设总共有15名同学选了数学课，但每次只有12名同学到课，教室里有25个座位，数学老师能看到学生们有多少种可能的座位坐 法？ 答案： C(15,12)×P(25,12)

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例 如果每个单词可以有3个或4个元音，字母可以重复使用，用26个英文字母可以构造出多少个8个字母的单词？

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答案： C(8,3)×5×21 +C(8,4)×5×21

例 求不多于四位的三进制数的个数。

解：这个问题相当于多重集{∞·0,∞·1,∞·2}的4-排列问题，由定理3.4.1，所求的三进制数的个数N=34=81。

例 用两面红旗，三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志？ 解 所求的标志数是多重集{2·红旗,3·黄旗}的排列数N, 由定理3.4.2得： N=5!/(2!3!)=10

例 MISSISSIPPI这个单词里的所有字母可以组成多少不同的排列？ 答案：11!/(1!4!4!2!)

定义 设S是多重集，S的含有r个元素的子多重集就叫做S的r-组合。

例如：S={2·a,1·b,3·c}，S的2-组合有5个，它们是{a,a},{a,b},{a,c},{b,c},{c,c}

定理3.5.1 设多重集S={∞·a1, ∞·a2,…, ∞·ak}，则S的r-组合数是C(r+k-1,r)。

从k种元素中取允许重复的r-组合的典型模型是：取r个相同的球，放进k个不同的盒子里，而每个盒子中的球数不加限制，允许重复的组合数即其放法方案数。 该数为C(r+k-1,k-1) =C(r+k-1,r)

从a,b,c 3种元素中取2个元素的多重组合，相当于将2个相同的球放人3个不同的盒中，每盒可多于一个球的方案。

多重组合与球放入盒子的方案的对照：

例 从为数众多的一角币、二角币、五角币和一元币中选取六枚有多少种方法？

解 这里有4种不同的币值,每种币都可无限重复,因此本问题是多重集S={∞·1角,∞·2角,∞·5角,∞·1元}的6-组合，故从中选出6枚的方法种数为： C(4+6-1,6)=C(9,6)=84

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