青海师范大学附属第二中学高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案 新人教A版必修2

青海师范大学附属第二中学高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位

置关系学案 新人教A版必修2

[学习要求]

了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法；理解并掌握公理4及等角定理；掌握异面直线所成角及异面直线垂直，能求一些特殊的异面直线所成角． [学法指导]

通过实物观察、抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，通过在平面上画出直线的位置关系、异面直线及夹角，培养空间想象能力。

1．空间两条直线的位置关系有且只有三种： 、 、 ． 2．异面直线的定义 的两条直线叫做异面直线． 3．公理4：平行于同一条直线的两条直线 ．

4．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两个角 或 ． [问题情境]

在平面中没有公共点的两条直线一定平行，但在空间中就不一定成立．例如：在十字路口立交桥中，两条路线AB，CD既不相交，又不平行．今天我们就来研究空间中直线与直线之间的位置关系．

探究点一 空间两直线的位置关系

问题1 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？

问题2 观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？

问题3 如何判断两条直线是异面直线？

问题4 分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？

问题5 为了体现异面直线不共面的特点，如何借助平面衬托来画异面直线呢？

探究点二 公理4

问题1 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的．

问题2 公理4有什么作用？如何用符号语言表示公理4?

例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．

探究点三 等角定理

导引 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？ 问题1 观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC

与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

问题2 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，等角定理能推出什么结论？ 探究点四 异面直线所成的角 问题1 在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCD－EFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？

问题2 异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？

问题3 异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？

问题4 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直吗？为什么？

问题5 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？

例2 如右图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？

例3 如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．

[达标检测]

1．异面直线是指 ( )

A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线D．不同在任何一个平面内的两条直线 2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是 ( )

A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 3．下列四个结论中假命题的个数是 ( ) ①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行； ③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；

④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线． A．1 B．2 C．3 D．4 小结：

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．

2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是学习立体几何的重要的思维途径．

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、基础过关

1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是 A．异面

B．平行 C．相交

2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有 A．∠BAC＝∠B′A′C′ B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°

C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180° D．∠BAC＞∠B′A′C′

3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 4．“a、b为异面直线”是指：

①a∩b＝?，且aD\\∥b；②a?面α，b?面β，且a∩b＝?；③a?面α，b?面β，且α∩β＝?；④a?面α，b?面α；⑤不存在面α，使a?面α，b?面α成立． 上述结论中，正确的是 A．①④⑤

( )

B．①③④ C．②④

D．①⑤

D．正方形

( )

( )

D．以上都有可能

( )

5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：

(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．

11

7．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC=AD，BE=FA，G、

22

H分别为FA、FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

8．如图，正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：

(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．

二、能力提升

9.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点， 则下列结论正确的是( )

1

A．MN≥(AC＋BD)

21

C．MN＝(AC＋BD)

2A．12对 ①AB⊥EF；

1

B．MN≤(AC＋BD)

21

D．MN<(AC＋BD)

2

D．48对

10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )

B．24对

C．36对

11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

②AB与CM所成的角为60°； ③EF与MN是异面直线； ④MN∥CD.

以上结论中正确的序号为________．

12．已知A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

三、探究与拓展

13．已知三棱锥A—BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，

求直线AB和MN所成的角．

跟踪训练1 在例1中，如果再加上条件AC＝BD，那么四边形EFGH是什么图形？

跟踪训练2 如图，长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.

(1)BC和A′C′所成的角是多少度？ (2)AA′和BC′所成的角是多少度？

跟踪训练3 如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，

求EF和AB所成的角．