导数题型汇总

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(2)

∵

F(x)?m(x?2)?lnx(?1)x?(F?(x)?m?1mx?m?1?(x?1) x?1x?11)]1m?1 当m<0时，F?(x)?∵m<0 ∴1?mx?111,??)时F?(x)?0 又x>1 当x?(1,1?)时F?(x)?0 当x?(1?mm111,??) ∴F(x)的单调增区间是(1，1?) 即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，1?)，单调减区间 ∴F(x)的单调减区间是(1?mmm1是(1?，??) ?l2分

mm[x?(1?8． 已知函数

f(x)?x3?ax2?3x．

（Ⅰ）若

f(x)在x?[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）若x?3是

f(x)的极值点，求f(x)在x?[1，a]上的最小值和最大值．

解：(Ⅰ)

f'(x)?3x2?2ax?3，要f(x)在x?[1，＋∞)上是增函数，则有

3x3?在x?[1，＋∞)内恒成立 22x3x2?2ax?3?0在x?[1，＋∞)内恒成立，即a?又

3x3??3（当且仅当x=1时取等号），所以a?3 22x（Ⅱ）由题意知所以

f'(x)?3x2?2ax?3?0的一个根为x?3，可得a?5，

1(舍去)，又f(1)??1，f(3)??9，f(5)?15，∴ 3f（x）在x?[1，

f'(x)?3x2?10x?3?0的根为x?3或 x?5]上的最小值是f(3)??9，最大值是f(5)?15．

9． 已知f(x)=ln(x+2)－x2+bx+c （Ⅰ）若函数f(x)在点（1，y）处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f(－1)=0，求函数f(x)在区间[0，3]上的最小值； （Ⅱ）若f(x)在区间[0，m]上单调，求b的取值范围. 解：（I）

13?2x?b 直线3x+7y+2=0 斜率为－ x?273令f′(1)= 得b=4 又f(－1)=ln1－1－4+c=0 ?c=5

7f?(x)?

1?2x2?932?f?(x)??2x?4??0得x?x?2x?22x y′ y 0 ln2+5 (0,+ 32) 232 20 极大 （－ 32,3） 23 8+ln5 因为8+ln5>5+ln2 ∴x=0时 f(x)在[0，3]上最小值f(x)=5+ln2.

11?2x?b≥0得b≥2x－，在[0，m]上恒成立而 x?2x?2111 y=2x－在[0，m]上单调递增，最大值为2m－∴b≥2m－

x?2m?2m?2 （II）令

f?(x)?33

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令

f?(x)?1x?2?2x?b≤0 得b≤2x－111x?2，而 y=2x－x?2在[0，m]单增，最小为y=－2

∴b≤－1112故b≥2m－m?2 或b≤－2时f(x)在[0，m]上单调.

10. 已知函数f(x)=ax－x (a>1) (1) 求函数f(x)的最小值, 并求最小值小于0时a的取值范围. (2)令S(n)=Cn1f '(1)＋Cn2f '(2)＋ ? ＋C－

nn1f '(n－1),

证明: S(n)>(2n－2)2f '(n2)解：(1) 由f '(x)=axlna－1 f '(x)>0 即: axlna>1, ∴ax> 1

lna, 又a>1, ∴x>－logalna

同理: f '(x) <0, 有x<－logalna 所以f '(x)在(－∞, －logalna)上递减, 在(－logalna, ＋∞) 上递增, 所以f(x)max=f(－logalna) =

1＋ln(lna)lna, 若f(x)1＋ln(lna)

max<0, 即 lna

<0, 则 1ln(lna)<－1, ∴lna< 1

a

∴ a 的取值范围是 1

ea

(2) S(n)=C－1)＋C2lna－1)＋ ? ＋C－

－

－

－

－

n1(alnan2(ann1(an1lna－1), = (Cn1a＋Cn2a2＋?＋Cnn1an1)lna－(Cn1＋Cn2＋?＋Cnn1) 1

n = [C－

2

n1(a＋an

1

)＋Cn2(a2＋an

－2

)＋＋C－nn

1

(an

－1

＋a)]lna－(2n－2 ≥

a2(2n?2)lna?(2n?2)n(2n?2)(a2lna?1)?(2n?2)f'(n2)

∴ 不等式成立.

11、已知函数f(x)?ln(x?1)?x．(1)求函数f(x)的单调递减区间； (2)若x??1，求证：1?1x?1≤ln(x?1)≤x． (1)解：函数f (x)的定义域为(－1，+∞)

f?(x)?1x?1?1??xx?1 2分

? 由f?(x)?0 得：???x?0?x?1，∴x＞0

?x??1 ∴f (x)的单调递减区间为(0，+∞)

4分

(2)证明：由(1)得x∈(－1，0)时，f?(x)?0， 当x∈(0，+∞)时，f?(x)?0，且f?(0)?0

∴x＞－1时，f (x)≤f (0)，∴ln(x?1)?x≤0，ln(x?1)≤x

8分 令g(x)?ln(x?1)?11x?1?1，则g?(x)?x?1?1(x?1)2?x(x?1)2 10分

∴－1＜x＜0时，g?(x)?0，x＞0时，g?(x)?0，且g?(0)?0

∴x＞－1时，g (x)≥g (0)，即ln(x?1)?1x?1?1≥0

12分 ∴ln(x?1)≥1?11x?1，∴x＞－1时，1?x?1≤ln(x?1)≤x．

13分

12． 已知

f(x)?lnx?x?a,x?(0,2]

（1）求f(x)的值域； （2）若f(x)

34

=

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解：（1）f′(x)=

1x－1,令f′(x)=0，得x=1，fmax(x)=a－1.??????3分

值域是（－∞，a－1] ????????6分 （2）f(x)0，a>2或a<－1??????????????????????12分 13． 已知函数

f(x)?xln(1?x)?a(x?1),其中a为常数.（1）若当x?[1,??)时，f'(x)?0恒成立，求a的取值范围； ?f'(x)? （2）求g(x)解：（1）

ax的单调区间. x?1xxf'(x)?ln(1?x)??a?0,则a?ln(1?x)?）

1?x1?x令h(x)?ln(1?x)?x11'当,则h'(x)??,x?[1,??)时，h(x)?0. 21?x1?x(1?x)11?ln2?a的取值范围是(??,?ln2) 22

上单调增，?a?h(1)??h(x)在[1，??）（2）g(x)?ln(1?x)?(1?a)xx?2?a?a,x?[?1,??),则g'(x)?x?1(x?1)2'i）当a＞1时，x?(?1,a?2),g

(x)?0,g(x)是减函数，

x?(a?2,??),g'(x)?0,g(x)是增函数，

'ii）当a≤1时，x?(?1,??),g(x)?0,g(x)是增函数，

综上所述，当a＞1时，增区间为（a－2，+∞），减区间为（－1，a－2）； 当a≤1时，增区间为（－1，+∞） 14．已知在函数

f(x)??mx3?x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

?, （1）求m、n的值； 4 （2）是否存在最小的正整数k，使不等式 （3）求证：|解：（1）

f(x)?k?1992对于x?[?1,3]恒成立？求出最小的正整数k，若不存在说明理由；

f(sinx)?f(cosx)|?2f(t?f(x)?3mx2?1，

f(x)?2(x?1)(x?R,t?0). 2t?21f(1)?tan?1,?m?,n??.

433，

（2）令

222)(x?)?0,则x??222

在[－1，3]中，x?[?1,?222]时,f(x)??0,f(x)在此区间为增函数x?[?,]时， 222

f?(x)?0,f(x)在此区间为减函数. f(x)在x??22处取得极大值.

35

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x?[

22f，3]时f?(x)?0,f(x)在此区间为增函数，f(x)在x=3处取得极大值.……8分

比较（－

22）和

f(3)的大小得：f(x)max?f(3)?15…

?f(x)?k?1992,k?2007,即存在k=2007

f(sinx)?f(cosx)|?|2(sin3x?cos3x)?(sinx?cosx)| 3

（3）|

?122?22|sinx?cosx|3?|sin3(x?)?3343(t?

而2f112112122…………12分 )?2(t?)[(t2?2)?]?22(?)?2t2t333334t(t?122)?2f(2)?2t3………………………………12分

（也可由单调性：2f

?|f(sinx)?f(cosx)|?2f(t?1)……………………………………………14分 2t15． 已知：三次函数

f(x)?x3?ax2?bx?c，在(??,?1),(2,??)上单调增，在（-1，2）上单调减，当且仅当x?4时，

f(x)?x2?4x?5.

（1）求函数f (x)的解析式； （2）若函数h(x)?f?(x)?(m?1)ln(x?m)，求h(x)的单调区间.

3(x?2)解：（1）? ?f(x)在(??,?1),(2,??)上单增，（-1，2）上单减

f?(x)?3x2?2ax?b?0有两根－1，2

2a?3?1?2????a??32??33???f(x)?x?x?6x?c …………4分 ??22??1?2?b?b??6??3? 令H(x)

?f(x)?x2?4x?5?x3?52x?2x?c?5 2H?(x)?3x2?5x?2?(3x?1)(x?2)

11H(x)在(??,?),(2,??)单调增，(?,2)单调减

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