陕西省2020届中考数学模拟测试卷(三)含答案

∴∠CBE=∠PCB， ∴tan∠PCB=．

【点评】本题主要考查切线的性质及等腰三角形的判定和三角函数的定义，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键，在（2）中注意三角函数的定义．

24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点在原点右侧，与y轴交于C点，点P是x轴下方的抛物线上的一动点． （1）求A、B、C三点坐标；

（2）当点P运动到什么位置时，CP∥AB，且AC=BP，直接写出此时P点的坐标：P（ 2 ， ﹣3 ）

（3）连接PO、PC，并把抛物线沿CO翻折，此时，可得到四边形POP'C，那么，是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点在原点右侧，与y轴交于C点，从而可以求得A、B、C三点坐

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标；

（2）根据二次函数的图象具有对称性，由点C的坐标和对称轴即可得到点P的坐标；

（3）根据菱形的性质和二次函数图象上点的特征，翻折的性质即可求得使四边形POP'C为菱形的点P的坐标． 【解答】解：（1）∵y=x2﹣2x﹣3，

∴当y=0时，0=x2﹣2x﹣3，得x1=﹣1，x2=3， 当x=0时，y=﹣3，

∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，﹣3）；

（2）∵CP∥AB，且AC=BP，点C（0，﹣3），y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∴点P的坐标为（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）；

（3）存在点P，使四边形POP'C为菱形， ∵四边形POP'C为菱形， ∴PP′⊥OC，且PP′平分OC， ∵点O（0，0），点C（0，﹣3）， ∴点P的纵坐标为y=﹣1.5， 将y=﹣1.5代入y=x2﹣2x﹣3，得 ﹣1.5=x2﹣2x﹣3，

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解得，x1=，x2=，

）或（

）．

即点P的坐标为（

【点评】本题考查二次函数综合题、菱形的性质、翻折的性质，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合和二次函数以及翻折的性质解答．

25．阅读理解

如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：①

③

；反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC．

②

理解运用

三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形．

（1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG延CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为F、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；

（2）在（1）所得图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR，求证：AR∥BC； 综合实践

（3）如图3，某个区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB=400米、BC=600米，∠ABC=45°；准备在△ABC内建设一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC

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上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短的矩形？并求出对角线EG最短距离（不要求证明）． 【考点】相似形综合题．

【分析】（1）根据条件画出矩形PBQH即可．

（2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．由PH∥BC，推出

=

，由DG∥BC，推出

=

，由PH=DG，推出

=

，推出AR∥HG，由

HG∥BC，即可证明AR∥BC．

（3）如图2中，作AR∥BC，BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短．由（2）可知BH=EG，求出BH即可解决问题．

【解答】解：（1）矩形PBQH如图1所示．

（2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR． ∵PH∥BC， ∴

=

，

∵DG∥BC，

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