2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)-已校

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调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．

20．（10分）（2010?新课标）设F1，F2分别是椭圆E：x2+

=1（0＜b＜1）的左、

右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（Ⅰ）求|AB|；

（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

【分析】（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，再由|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，能够求出|AB|的值． （2）L的方程式为y=x+c，其中

，设A（x1，y1），B（x1，y1），则A，

B两点坐标满足方程组，化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0．然后结合

题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小． 【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4 又2|AB|=|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y=x+c，其中

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组化简得（1+b2）x2+2cx+1﹣2b2=0． 则

因为直线AB的斜率为1，所以即

．

．

．，

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则解得

21．（2010?新课标）设函数f（x）=x（ex﹣1）﹣ax2 （Ⅰ）若a=，求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．

【分析】（I）求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；

．

．

（II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax），令g（x）=ex﹣1﹣ax，分类讨论，确定g（x）的正负，即可求得a的取值范围．

【解答】解：（I）a=时，f（x）=x（ex﹣1）﹣x2，（ex﹣1）（x+1）

令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣1＜x＜0； ∴函数的单调增区间是（﹣∞，﹣1），（0，+∞）；单调减区间为（﹣1，0）； （II）f（x）=x（ex﹣1﹣ax）．

令g（x）=ex﹣1﹣ax，则g'（x）=ex﹣a．

若a≤1，则当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数，而g（0）=0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0．

若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数，而g（0）=0，从而当x∈（0，lna）时，g（x）＜0，即f（x）＜0． 综合得a的取值范围为（﹣∞，1]．

22．（10分）（2010?新课标）如图：已知圆上的弧BA的延长线交于E点，证明： （Ⅰ）∠ACE=∠BCD． （Ⅱ）BC2=BE?CD．

，过C点的圆的切线与

=

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【分析】（I）先根据题中条件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根据EC是圆的切

线，得到∠ACE=∠ABC，从而即可得出结论． （II）欲证BC2=BE x CD．即证【解答】解：（Ⅰ）因为所以∠BCD=∠ABC． 又因为EC与圆相切于点C， 故∠ACE=∠ABC

所以∠ACE=∠BCD．（5分）

（Ⅱ）因为∠ECB=∠CDB，∠EBC=∠BCD， 所以△BDC～△ECB， 故

．

，

．故只须证明△BDC～△ECB即可．

即BC2=BE×CD．（10分）

23．（10分）（2010?新课标）已知直线C1（θ为参数）， （Ⅰ）当α=

时，求C1与C2的交点坐标；

（t为参数），C2

（Ⅱ）过坐标原点O做C1的垂线，垂足为A，P为OA中点，当α变化时，求P点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

【分析】（I）先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，

（II）设P（x，y），利用中点坐标公式得P点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线． 【解答】解：（Ⅰ）当α=x2+y2=1．

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时，C1的普通方程为，C2的普通方程为

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联立方程组，

．

解得C1与C2的交点为（1，0）

（Ⅱ）C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①． 则OA的方程为xcosα+ysinα=0②， 联立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα； A点坐标为（sin2α，﹣cosαsinα）， 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为：

，

P点轨迹的普通方程故P点轨迹是圆心为

．

，半径为的圆．

24．（10分）（2010?新课标）设函数f（x）=|2x﹣4|+1． （Ⅰ）画出函数y=f（x）的图象：

（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围．

【分析】（I）先讨论x的范围，将函数f（x）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；

（II）根据函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知先寻找满足f（x）≤ax的零界情况，从而求出a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=函数y=f（x）的图象如图所示．

，

（Ⅱ）由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，极小值在点（2，1） 当且仅当a＜﹣2或a≥时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点． 故不等式f（x）≤ax的解集非空时， a的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．

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