专题十一三角形（二）

质，三角形内角和定理可得，三角函数，平行线分线段成比例，以及方程思想，本题的难点是作出辅助线，寻找解题的途径．

10．（2014?怀化）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC= 1：4 ．

考点： 三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC，再求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答． 解答： 解：∵D、E是边AB、AC上的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC且DE=BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴S△ADE：S△ABC=（1：2）2=1：4．

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故答案为：1：4． 点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键．

11．（2014?镇江）如图，CD是△ABC的中线，点E、F分别是AC、DC的中点，EF=1，则BD= 2 ．

考点： 三角形中位线定理．菁优网版权所有 分析： 由题意可知EF是△ADC的中位线，由此可求出AD的长，再根据中线的定义即可求出BD的长． 解答： 解：∵点E、F分别是AC、DC的中点， ∴EF是△ADC的中位线， ∴EF=AD， ∵EF=1， ∴AD=2， ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD=2， 故答案为：2． 点评： 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．

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三．解答题（共4小题）

12．（2014?锦州）如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连结EF交CD于点M，连接AM．

（1）求证：EF=AC．

（2）若∠BAC=45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系．

考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有 专题： 几何综合题． 分析： （1）根据等腰三角形三线合一的性质可得CE⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=AC； （2）判断出△AEC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EF垂直平分AC，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AM=CM，然后求出CD=AM+DM，再等量代换即可得解． 解答： （1）证明：

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∵CD=CB，点E为BD的中点， ∴CE⊥BD， ∵点F为AC的中点， ∴EF=AC； （2）解：∵∠BAC=45°，CE⊥BD， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∵点F为AC的中点， ∴EF垂直平分AC， ∴AM=CM， ∵CD=CM+DM=AM+DM，CD=CB， ∴BC=AM+DM． 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）判断出EF垂直平分AC．

13．（2014?泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G． 求证：AE=BF．

考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有

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