工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案

8 用克莱姆法则解下列方程组

x1 x2 x3 x4 5

4x x1 2x2 x3 4

(1)

2x1 3x2 x3 5x4 3x1 x2 2x3 11x4

2 2 0

解 因为

1 1 D 2 3

1 2 3 1

1 1 1 41 5 2 11 142

D

1

5 1 1 1 2 2 1 4

2 3 1 5 0 1 2 11 1 2 3 1

1 1 2 142 D2

3

5 2 2 0

所以

1 1 D 3 2 3 D1 x1

D

1

x1 5x2 6x3 0 x2 5x3 6x4 0 (2)

x3 5x4 6x5 0 x4 5x5 1 解 因为

5x1 6x2

5 1

2 4 426 D

4 2 5 0 11

D2 D 3 2 x1 x2 3 D D

1 1 1 5 1 2 1 2 142 2 3 1 2 3 1 2 0

D

3 x4 4 1

D

1 1 1 4 1 5 2 11

284

5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 D 0 1 5 6 0 665

0 0 1 5 6 0 0 0 1 5

1 6 0 0 0 0 5 6 0 0

D1 0 1 5 6 0 1507 D2

0 0 1 5 6 1 0 0 1 5 5 1 0 0 0 1 0 6 0 0 0 0 5 6 0 0 0 1 5 6 0 1 0 1 5

1145

D3

5 6 1 0 0 1 5 0 0 0

0 1 0 6 0 703 D4 0 0 0 5 6 0 0 1 1 5

5 6 0 0 1 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 212 0 0 1 5 0 0 0 0 1 1

5 6 0 1 0 1 5 6 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 6 0 0 0 1 5

395

D5

所以

1507 x x 1 2665 1145

665 703 x 3

665

395 x 212 x 4 4665 665

lx1 x2 x3 0

9 问 l m 取何值时 齐次线性方程组 x1 mx2 x3 0 有非零

x1 2mx2 x3 0 解？

解 系数行列式为

l 1 1 D 1 m 1 m ml

1 2m 1 令 D 0 得

m 0 或 l 1

于是 当 m 0 或 l 1 时该齐次线性方程组有非零解

(1 l)x1 2x2 4x3 0

10 问 l 取何值时 齐次线性方程组 2x1 (3 l)x2 x3 0 有

x1 x2 (1 l)x3 0 非零解？

解 系数行列式为

1 l 2 4 1 l 3 l 4 D 2 3 l 1 2 1 l 1

1 1 1 l 1 0 1 l (1 l)3 (l 3) 4(1 l) 2(1 l)( 3 l)

(1 l)3 2(1 l)2 l 3

令 D 0 得

l 0 l 2 或 l 3

于是 当 l 0 l 2 或 l 3 时 该齐次线性方程组有非零

解 第二章 矩阵及其运算

1 已知线性变换

x1 2 2 y2 y3 y1 x2 y2 5y3 3y1 x3 2 y2 3y3 3y1

求从变量 x1 x2 x3 到变量 y1 y2 y3 的线性变换

解 由已知

x1 2 2 1 y1 x2 3 1 5 y2 x3 3 2 3 y2

故

y1 y2 y2

2 2 1 3 1 5 3 2 3

1

x1 x2 x3

7 4 9 y1 6 3 7 y2 3 2 4 y3

y1 7x1 4x2 9x3 y2 6x1 3x2 7x3 y3 3x1 2x2 4x3

2 已知两个线性变换

x1 2 y1 y3

x2 2 y1 3y2 2 y3 x3 4 y1 y2 5y3

y1 3z1 z2 y2 2z1 z3 y3 z2 3z3

求从 z1 z2 z3 到 x1 x2 x3 的线性变换

解 由已知

x1 x2 x3

2 0 1 y1 2 3 2 y2 4 1 5 y2 2 0 1 3 1 0 z1 2 3 2 2 0 1 z2 4 1 5 0 1 3 z3

6 1 3 z1 12 4 9 z2 10 1 16 z3

x1 6z1 z2 3z3

所以有 12z1 4z2 9z3

x2

x3 10z1 z2 16z3 1 1 1

3 设 A 1 1 1 1 1 1

B

1 2 3 1 2 4 0 5 1

求 3AB 2A 及

1 1 1 1 2 3 1 1 1

解 3AB 2A 3 1 1 1 1 2 4 2 1 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1

0 5 8 1 1 1

3 0 5 6 2 1 1 1 2 9 0 1 1 1

2 13 22

2 17 20 2 4 29 0 5 8 0 5 6 2 9 0

1 1 1 1 2 3 AT B 1 1 1 1 2 4 1 1 1 0 5 1 4 计算下列乘积

4 3 1 7 (1) 1 2 3 2

5 7 0 1 解

4 3 1 7 1 2 3 2

5 7 0 1

4 3 2 1 1 7 2) 2 3 1 1 7 (

5 7 7 2 0 1

35 6 49

3

(2) (1 2 3) 2

1

3

解 (1 2 3) 2 (1 3 2 2 3 1) (10)

1 2

(3) 1 ( 1 2)

3