工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案

工程数学线性代数同济大学第五版课后习题答案

第一章 行列式

1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1) 2 1 0 1

1 4 8 31

解

2 1 1 0 4 8 1 31

2 ( 4) 3 0 ( 1) ( 1) 1 0 1 3 2 ( 1) 8 1 ( 4) 24 8 16 4

4

a b c a (2) c b a bc 解 b a b c c c a ba

acb bac cba bbb aaa ccc

3abc a3 b3 c3

(3) 1 a 1 a 2 b 1 2 c c2

b解

1 a a 2 b 1 2 1 c c2

bbc2 ca2 ab2 ac2 ba2 cb2 (a b)(b c)(c a)

(4) x y x y y x x y x xy y

解

x x y y y x y x x y xy

8 ( 1)

1

x(x y)y yx(x y) (x y)yx y3 (x y)3 x3 3xy(x y) y3 3x2 y x3 y3 x3

2(x3 y3)

2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数

(1)1 2 3 4 解 逆序数为 0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为 4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3

解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n)

解 逆序数为 n(n 1)

2

3 2 (1 个)

5 2 5 4(2 个) 7 2 7 4 7 6(3 个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1 个) (6)1 3

(2n 1) (2n) (2n 2) 2

解 逆序数为 n(n 1)

3 2(1 个)

5 2 5 4 (2 个)

(2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6

4 2(1 个)

(2n

1)(2n 2) (n 1 个)

6 2 6 4(2 个)

(2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n 2) (n 1 个)

3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项 解 含因子 a11a23 的项的一般形式为

( 1)ta11a23a3ra4s

其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 两个

这种排列共有

即 24 和 42

tt

1

所以含因子 a11a23 的项分别是

( 1)a11a23a32a4( 1)a11a23a32a4

4 2

4 2

a11a23a32a44

( 1)a11a23a34a4( 1)2a11a23a34a4a11a23a34a42

4 计算下列各行列式

4 1 2 4 2 0 2 (1) 11 0 5 2 0 0 1 1 7 4 1 2 4 c c 4 1 2 10 4 2 3 1 2 0 2 1 2 0 2 1 解 10 5 2 0 c7c10 3 214 10 0 1 7 4 3 0 0 0 1 1

4 1 10 c2 c3 9 9 10 0 0 2 0 1 2 2 1 2 c10 3 14 c1 3 17 17 14

1 10 2 2 ( 1)4 3 3 14

2 3 (2) 1 5 1 4 1 1 2 1 2 3 2 0 6 2

2 1 4 1 c4 c2 2 1 4 0 r4 r2 2 1 4 0 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 1解 1 1 2 3 0 1 2 3 0 2 3 2

2 1 4 0 5 0 6 2 5 0 6 2

r4 r1 2 1 4 0 3 1 2 2 0 1 2 3 0 0 0 0 0