一次函数和几何综合题

解：∵ 直线y=

1x+1分别与坐标轴交于A、B两点 3 ∴ 可得点A坐标为（－3，0），点B坐标为（0，1） ∵ OC=OB

∴ 可得点C坐标为（0，－1） 设直线AC的解析式为y=kx+b

将A（－3，0），C（0，－1）代入解析式 －3k+b=0且b=－1可得k=－ ∴ 直线AC的解析式为y=

1，b=－1 31x－1 3（2）在x轴上取一点D（－1，0），过点D做AB的垂线，垂足为E，交AC于点F，交y轴于点G，求F点的坐标； 解：∵ GE⊥AB ∴ ∴

kEG?k3AB??1

kGE=?11=?3'y=-3x+b设直线GE的解析式为

'y=-3??????b?0 将点D坐标（－1，0）代入，得

∴ b??3

∴ 直线GE的解析式为y=－3x－3 联立y=

'1x??34， x－1与y=－3x－3，可求出

33? 将其代入方程可得y=4， 33

??4∴ F点的坐标为（，4）

（3）过点B作AC的平行线BM，过点O作直线y=kx（k＞0），分别交直线AC、BM于点H、I，试求

AH?BI的值。 AB解：过点O作AC的平行线ON交AB于点N ∵BM//AC

OI∴OHOB?OC

∵OB=OC ∴OI=OH ∴O为IH的中点 ∵BM//AC

NB ∴NAOI=OH

∵ OI=OH

∴ NB=NA ∴ N为AB中点

∴ ON是四边形ABIH的中位线 ∴ AH+BI=2ON

∵ N是AB的中点，?AOB是直角三角形

∴ AB=2ON（直接三角形斜边的中线等于斜边的一半） ∴ AH+BI=AB ∴AH?BI=1 AB12.如图，直线AB：y=－x－b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1. （1）求直线BC的解析式；

解：（1）因为直线AB：y=－x－b过点A（6，0）. 带入解析式 就可以得到 b=－6 即直线AB：y=－x+6 ∵B为直线AB与y轴的交点 ∴点 B （0，6） ∵OB：OC=3：1

∴OC=2 点 C（－2，0）

已知直线上的两点 B、C。设直线的解析式为y=kx+m 带入B、C的坐标。可以算出k=3 ,m=6 所以BC的解析式为：y=3x+6

（2）直线EF：y=kx－k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？ (2) 假设 存在满足题中条件的k值

因为直线EF: y=kx－k（k≠0）交x轴于点D。 所以D点坐标为（1,0）

在图中标出点D,且过点D做一直线，相交与直线AB,BC分别与点E,F然后观察△EBD和△FBD 则 S△EBD=

11DE×h S△FBD=DF×h 22两个三角形的高其实是一样的

要使这两个三角形面积相等，只要满足DE=DF就可以了 ∵点E在直线AB上，∴设点E的坐标为（p，－p+6） ∵点F在直线BC上，∴设点F的坐标为（q，3q+6） 而上面我们已经得到点D的坐标为（1,0）

点E、F又关于点D对称，所以我们就可以得到两个等式，即： （p+q)/2=1 (－p+6+3q+6)/2=0

95，q=－ 229353点E的坐标即为（，），点F的坐标即为（－，－）

22223把点E代入直线EF 的解析式，得到k=

73所以存在k，且k=

7这样就可以求得：p=

（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。 (3) K点的位置不发生变化

理由：首先假设直线QA的解析式为y=ax+b，点P的坐标为（p，0）过点Q作直线QH垂直于x轴，交点为H

这样图中就可以形成两个三角形，分别是△BOP和△PHQ，且两个三角形都是直角三角形。

∵△BPQ为等腰直角三角形，直角顶点为P ∴BP=PQ，∠BPO+∠QPH=180o—90o=90o 又∵在直角三角形中，∴∠QPH+∠PQH=90o ∴根据上面两个等式，我们可以得到∠BPO=∠PQH 且PB=QP

所以在△BOP和△PHQ中

∴△BOP≌△PHQ（AAS）

∴OP=HQ=p OB=HP=6 （全等三角形的对应边相等） ∴点Q的坐标为（p+6，p）

然后将点A和点Q的坐标代入直线QA的解析式：y=ax+b中，得到： a=1，b=－6

也就是说a,b为固定值，并不随点P（p，0）的改变而改变

这样直线QA：y=x－6的延长线交于Y轴的K点也不会随点P的变化而变化了。 求得点K的坐标为（0，－6） 实战练习：

1.已知，如图，直线AB：y=－x+8与x轴、y轴分别相交于点B、A，过点B作直线AB的垂线交y轴于点D.

（1）求直线BD的解析式；

∠BOP=∠PHQ

∠BPO=∠PQH PB=QP