中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案

∴GH＝DH3＝323＝6，

∴DG＝2GH＝26， ∴DF＝2DG＝43， 在Rt△DCF中，CF＝∴BE＝CF＝23．

?43?2?62＝23，

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．

6．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E

(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由； (2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；

(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．

【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；

（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；

（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形． 【详解】

（1）直线PD为⊙O的切线， 理由如下： 如图1，连接OD，

∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠BDO=90°， 又∵DO=BO， ∴∠BDO=∠PBD， ∵∠PDA=∠PBD， ∴∠BDO=∠PDA，

∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴直线PD为⊙O的切线； （2）∵BE是⊙O的切线， ∴∠EBA=90°， ∵∠BED=60°， ∴∠P=30°， ∵PD为⊙O的切线， ∴∠PDO=90°，

在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=3， ∴tan30?∴PO?0OD，解得OD=1， PDPD2?OD2=2，

∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1； （3）如图2，

依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF， ∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，

∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF， ∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°，

设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°， ∵四边形AFBD内接于⊙O， ∴∠DAF+∠DBF=180°， 即90°+x+2x=180°，解得x=30°， ∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°， ∵BE、ED是⊙O的切线， ∴DE=BE，∠EBA=90°，

∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形， ∴BD=DE=BE，

又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴BD=DF=BF， ∴DE=BE=DF=BF， ∴四边形DFBE为菱形.

【点睛】

本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．

7．如图，在平面直角坐标系中，直线DE交x轴于点E（30，0），交y轴于点D（0，

1x+5交x轴于点A，交y轴于点B，交直线DE于点P，过点E作3EF⊥x轴交直线AB于点F，以EF为一边向右作正方形EFGH． （1）求边EF的长；

40），直线AB：y＝

（2）将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移，得到正方形E1F1G1H1，在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直，设平移的时间为t秒（t＞0）． ①当点F1移动到点B时，求t的值；

②当G1，H1两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE重叠部分的面积．

【答案】（1）EF＝15；（2）①10；②120； 【解析】 【分析】

（1）根据已知点E（30，0），点D（0，40），求出直线DE的直线解析式y=-求出P点坐标，进而求出F点坐标即可；

（2）①易求B（0，5），当点F1移动到点B时，t=1010÷10=10；

②F点移动到F'的距离是10t，F垂直x轴方向移动的距离是t，当点H运动到直线DE上时，在Rt△F'NF中，t=4，S=

4x+40，可3NF1MH?4?，=，EM=NG'=15-F'N=15-3t，在Rt△DMH'中，

NF?3EM31451023PK1×(12+)×11==，；当点G运动到直线DE上时，在Rt△F'PK中，248F?K3PKt?34＝＝，t=7，S=15×（15-7）=120. KG?15?3t?93PK=t-3，F'K=3t-9，在Rt△PKG'中，【详解】

（1）设直线DE的直线解析式y＝kx+b， 将点E（30，0），点D（0，40）， ∴??30k?b?0，

b?40?4??k??∴?3， ??b?40∴y＝﹣

4x+40， 3直线AB与直线DE的交点P（21，12）， 由题意知F（30，15）， ∴EF＝15；

（2）①易求B（0，5）， ∴BF＝1010，

∴当点F1移动到点B时，t＝1010?10＝10；