中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案

中考数学压轴题专题直角三角形的边角关系的经典综合题附详细答案

一、直角三角形的边角关系

1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；

（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】

试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．

试题解析：延长PQ交直线AB于点E，

，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，BE=∵AB=AE-BE=6米， 则x-33PE=x米， 333x=6， 3解得：x=9+33．

则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE=

33BE=（33+3）=（3+3）米． 33∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

2．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是PD，PD交AB于点G. (1)求证：△PAC∽△PDF； (2)若AB＝5，

，求PD的长；

＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出

上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与

(3)在点P运动过程中，设x的取值范围)

【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】

；（3）

.

试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论. （2）由AC=2BC，设

，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得

可知△APB是等腰直角三角

，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由

形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得

，即可求得PD的长.

，由角的转换可得，由△AGD∽△PGB可得

，两

（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得

，由△AGP∽△DGB可得

式相乘可得结果.

试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，

又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.

∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD. 又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF. （2）连接BP，设∴

∵△ACE∽△ABC，∴∵AB⊥CD，∴如图，连接BP， ∵

，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，

.

.

，∵∠ACB=90°，AB=5，.∴

，即

.

. ∴

.

∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.

由（1）△PAC∽△PDF得∴PD的长为

.

，即

.

（3）如图，连接BP，BD，AD，

∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD. ∵

，∴

. .

. .

.

∵△AGP∽△DGB，∴∵△AGD∽△PGB，∴∴∵

，∴

，即.

∴与之间的函数关系式为

.

考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.

3．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为1：3，DE＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41， 3≈1.73）

【答案】该停车库限高约为2.2米． 【解析】 【分析】 据题意得出tanB?3，即可得出tanA，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可3得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF＝3x的长． 【详解】

解：由题意得，tanB?∵MN∥AD， ∴∠A＝∠B，

3 3