[走向高考]2016届高三数学一轮基础巩固 第11章 第3节 二项式定理 理（含解析）北师大版

【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固 第11章 第3节 二

项式定理(理) 北师大版

一、选择题

a71

1．(2014·湖北高考)若二项式(2x＋)的展开式中3的系数是84，则实数a＝( )

xx5B．4 D．

2 4

A．2 C．1 [答案] C

[解析] 二项式(2x＋)的通项公式为Tr＋1＝C7(2x)1525

得r＝5.故展开式中3的系数是C72a＝84，解得a＝1.

ax7r7－r()＝C72

axrr7－rr7－2rax，令7－2r＝－3，

x2n2．(x＋2)的展开式只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )

xA．360 C．90 [答案] B

[解析] 由题意可知，n＝10. 通项为Tr＋1＝C10(x)令

r10－rB．180 D．45

2r2r10－5r(2)＝2C10x， x2

10－5r＝0，得r＝2. 2

22

故其常数项为2C10＝180.

2n2

3．若二项式(x－)的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项是( )

xA．－240 C．160 [答案] D

[解析] 由2＝64，得n＝6.

nB．－160 D．240

262r2r2(6－r)rr12－3r于是，二项式(x－)的展开式的通项为Tr＋1＝C6x(－)＝(－2)C6x，

xx令12－3r＝0，得r＝4，故其常数项为(－2)C6＝240.

4．(2015·烟台模拟)在(1＋x)＋(1＋x)＋(1＋x)的展开式中，x的系数是( ) A．25

B．35

5

6

7

4

44

- 1 -

C．45 [答案] D

D．55

[解析] 二项式(1＋x)中x的系数为C5，二项式(1＋x)中x的系数为C6，二项式(1＋

5674444

x)7中x4的系数为C47，故(1＋x)＋(1＋x)＋(1＋x)的展开式中x的系数为C5＋C6＋C7＝55，

544644

故选D．

5．(2014·浙江高考)在(1＋x)(1＋y)的展开式中，记xy项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( )

A．45 C．120 [答案] C

[解析] 本题考查组合应用及二项式定理．由条件得f(m，n)＝C6·C4，∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝C6C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝20＋60＋36＋4＝120，选C．

6．如果(3x－

3

A．7 C．21 [答案] C

[解析] 由题意可知，2＝128，解得n＝7. (3x－

31

)的通项为Tr＋1＝C7(3x)

7

30

21

12

03

6

4

mnB．60 D．210

mn1

1n)的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中3的系数是( )

xx2

B．－7 D．－21

nr7－r(－

13

)

rx2

r7－rrx2

＝(－1)3

5rC7x7－，

3

5r令7－＝－3，得r＝6.

3其系数为(－1)·3二、填空题

3n7．在二项式(x＋)的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A6

7－6

·C7＝21.

6

x＋B＝72，则n＝________.

[答案] 3

[解析] 由题意可知，B＝2，A＝4，由A＋B＝72，得4＋2＝72，即2＝8，n＝3. 1n1

8．若(x＋)的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中2的系数为nnnnnxx______．

[答案] 56

- 2 -

[解析] 本小题主要考查了二项式定理中通项公式的运用．依题意：Cn＝Cn，得：n＝8.18r8－2r5

∵(x＋)展开式中通项公式为Tr＋1＝C8x，∴令8－2r＝－2，即r＝5，∴C8＝56，即为所

26

x求．本题是常规题型，关键考查通项公式求特定项．

16

9．(2015·开封第一次模拟)(x＋)的展开式中的常数项为________．

2x5

[答案]

2

161rrr6－r－r6－2r[解析] 二项式(x＋)的展开式的通项是Tr＋1＝C6·x·()＝C6·2·x，令6

2x2x161353

－2r＝0得r＝3.因此二项式(x＋)的展开式中的常数项等于C6·()＝. 2x22

三、解答题

?31?

??n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． 10．在二项式x－?3?

2x??

(1)求展开式的第四项； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式的各项系数的和．

CnCn[解析] 第一项系数的绝对值为Cn，第二项系数的绝对值为，第三项系数的绝对值为，24

0

1

2

CnCn依题意有Cn＋＝×2，解得n＝8.

42

0

21

?－1??3＝－7x2. (1)第四项T4＝C(x)?

?23x?3??

3

8

3

5

?－1?

?1?k3x)8－2k，展开式的常数项满足8－k8－k?k＝Ck(2)通项公式为Tk＋1＝C8(x)?8?－?·(

?23x??2???

3

?1?4354

2k＝0，即k＝4，所以常数项为T5＝C8·?－?＝. ?2?8

?1?811

(3)令x＝1，得展开式的各项系数的和为?1－?＝8＝.

?2?2256

一、选择题

1?????x－x?6，x<0，?1．设函数f(x)＝????－x， x≥0，

则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数

- 3 -

项为( )

A．－20 C．－15 [答案] A

[解析] 当x>0时，f(x)＝－x<0， ∴f[f(x)]＝f(－x)＝(－x＋1

)＝C6(－1)xrrr3－rB．20 D．15

1

x)＝(x－

6

1

x)，展开式中通项为Tr＋1＝C6(x)

6r6－r(－

x，

3

3

令r＝3，T4＝C6(－1)＝－20，故选A．

?x－1?

n2．在?23?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )

??x??

A．－7 C．－28 [答案] B

[解析] 由题意可知n＝8，

1?x?8－r?1?8－r4－??rrr??Tr＋1＝C8??＝(－1)C??8·x8－r.

3?2??3x??2?

??

rB．7 D．28

?1?266

∴r＝6，∴??×(－1)C8＝7.

?2?

二、填空题

3．(2015·保定调研)若(sinφ＋x)的展开式中x的系数为2，则cos2φ＝________. 3

[答案]

5

[解析] 由二项式定理得，x的系数为C5sinφ＝2， 1322

∴sinφ＝，cos2φ＝1－2sinφ＝.

55

4．(2014·安徽高考)设a≠0，n是大于1的自然数，(1＋)的展开式为a0＋a1x＋a2x＋…anx.若点Ai(i，ai)(i＝0,1,2)的位置如图所示，则a＝________.

n3

3

2

5

3

xan2

- 4 -