01质点运动学习题解答

解：答案为：1.41小时。 简要提示：由：?2R?g，??g， RT?2???2?R?5075s?1.41h g7. 一列车以5.66 m ? s–2的加速度在平面直铁道上行驶，小球在车厢中自由下落，则小球相对于车厢中乘客的加速度大小为________ m ? s–2，加速度与铅垂直的夹角为_______。

解：答案为：11.3 m ? s–2；300。

简要提示：如图所示，小球相对于地面的加速度，即绝对加速度是g。列车的加速度，即牵连加速度a0，大小为a0 = 5.66 m ? s–2，a0 所以小球的相对加速度a? 为

30? a??g?a0

g a?

2得a? 的大小为： a??g2?a0?11.3m?s?2

与竖直方向的夹角?为????????????????sin?1(a0/a?)?30??

三 计算题

1. 半径为R的轮子在水平面上以角速度??作无滑动滚动时，轮边缘上任一质点运动的轨迹的矢量方程为r?(?Rt?Rsin?t)i?(R?Rcos?t)j，其中i、j分别为x，y直角坐标轴上的单位矢量，试求该质点的速率和加速度的大小。当?为常数时，找出速度为零的点。

?x??Rt?Rsin?t解：质点运动的参数方程为?

y?R?Rcos?t??vx?dydx??R??Rcos?t，vy???Rsin?t dtdt?v?vx2?vy2?(?R??Rcos?t)2?(?Rsin?t)2??R(1?cos?t)2?sin2?tv?2?Rsin?t2

?ax?dvydvx??2Rsin?t，ay???2Rcos?t dtdt?a?ax2?ay2??2R

由以上速度公式，可得：当??t=2n?，n为整数时，v = 0，代入参数方程可

得 y?0

即: 轮子与水平面的接触点（y = 0）的速度始终为0。

2. 一艘正以v0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向、大小与船速平方成正比的加速度，即dv/dt=?kv2，k为一常数，求证船在行驶距离x时的速率为v=v0e?kx。

dvdvdvdxdv解：已知： ??kv2 分离变量：??vdtdtdxdtdxdvdv得： v??kv2 dx??

dxkvxvdv两边积分 ?dx???

0v0kv11v得： x??(lnv?lnv0)??ln

kkv0 v?v0e?kx

3. 一质点初始时从原点开始以速度v0沿x轴正向运动，设运动过程中质点

受到的加速度a = ?kx 2，求质点运动的最大距离。

解：已知：x0 = 0，v0和a = ?kx 2，运用分离变量，得：

vdv??kx2 vdv??kx2dx dx两边积分： 得：

?vv0vdv ???kx2dx

0x122(v?v0)??kx3/3 22当v = 0时，质点运动的距离最大，即：xmax?(3v0/2k)1/3

4. 如图所示为一曲柄连杆机构，曲柄OA长为r，连杆AB长为l。AB的一端用销子在A处与曲柄OA相连，另一端以销子在B处与活塞相连。当曲柄以匀角速度??绕轴O旋转时，通过连杆将

计算题4图

带动B处活塞在气缸内往复运动，试求活塞的运动方程。

解：建立坐标如图，以O为原点，水平向左为x的正方向，并取曲柄A端处在x轴的P点时为初始时刻。由图可得活塞B的运动方程为：

x?OR?RB?rcos?t?l2?r2sin2?t

5. 距河岸(可看成直线) 500 m 处有一艘静止的船，船上的探照灯以转速为 n =1 r/min 转动．当光束与岸边成60°角时，求光束沿岸边移动的速率v 。

解：如图所示，建立坐标系，当探照灯转动到与岸边成? 角，再经过d t 时

o x 间，光束沿岸边的位移：

dx?rd?/sin??l?dt/sin?

其中??2?n。所以，光束沿岸边的速率为：

2??l r d??v?dx?l?/sin2??69.8m/s dt6. 一战士在倾角为? 的山坡底部O点处，以与斜面成β角的初速度v0投掷手榴弹，欲使弹恰好垂直落入斜面上端P点处的碉堡内，若不计空气阻力，试求投掷角?。

解：如图所示，P的水平和竖直速度分别为： vx?v0cos(???), vy?v0sin(???) ?gt, vy?0。 要使落入点的速度垂直于斜面，必须有：

vx?tan?，即： ?vyv0cos(???)?tan?，

?v0sin(???)?gtv0 P(x,y)

vx

? O ? ? vy v

得到：

v0cos(???)?v0sin(???) （1）

tan??(??)?t?gt2/2yv0sin?tan?，得到 又因 ?xv0cos?(??)?tv0sin(???)?gt/2?v0cos(???)?tan? （2）

将（1）式代入（2）式，整理后得到

gt?sin(???)?cos(???)(2tan??1) tan?利用三角函数展开式，整理简化上式得到

tan??1 2tan?7. 表面平直的山坡与水平面成30°，在山脚用炮轰山腰处的目标， 已知v0 = 150 m ? s–1，炮筒与水平面成60°，求击中的目标离炮位有多远？

解：取坐标如图，以炮位为原点，目标为P，

y 则有

y?xtan30° v0 P 2gxs ?由轨迹方程 y?xtan60° 22 y 60° 2v0cos60°30° x o x 联立解得

2v02cos260°x?(tan60°?tan30°)?1326m

gy?xtan30°?765.6m

y?1531.2m

sin30°8. 一质点在半径为0.10 m的圆周上运动，设t?0时质点位于极轴上，其角速度为???12 t 2。(1) 求在t = 2.0s时质点的法向加速度、切向加速度和角位置。(2) 当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，角位置??值为多少？(3) t为多少时，法向加速度和切向加速度的值相等？

解：(1) 已知???12 t 2，所以2秒时法向加速度和切向加速度分别为：

?s?x2?y2或s?an??2r?144rt4?230.4m?s?2 aτ?rd?/dt?24rt?4.8m?s?2

其角位置为： ???0???dt?4?23rad?32rad

0222(2) 由a?an，即： ?aτ2 aτ?a/2，可得： 3aτ2?an3(24rt)2?(144rt4)2， 解得：t3?0.29 s3