习题二答案详解 随机变量及其分布

G(u)?P?U?u??P?H(X)?u??P?X?u??1?e?3u

于，随机变量U?H(X)的分布函数为

? 0 ，若u?0，??3uG(u)??1?e，若0?u?1，

? 1 ，若u?1．?由于G(1?0)?1?e?3,G(1)?1，可见U不是连续型随机变量，因为连续型随机变量取任何给定值的概率都应等于0然而，由于G(t)在区间(0, 1)上是单调增加的连续函数，可见U不可能是离散型随机变量于是，X既不是连续型随机变量，也不是离散型随机变量

2.50 设F1(x)和F2(x)都是随机变量的分布函数，a和b是非负常数且a?bF(x)?aF1(x)?bF2(x)具有随机变量的分布函数的基本性质．

?1，证明

证明 只需验证F(x)?aF1(x)?bF2(x)满足分布函数的三条基本性质．由条件知a和b非负且a?b?1．由于F1(x)和F2(x)都是分布函数，可见对于任意x，有

0?F(x)?aF1(x)?bF2(x)?a?b?1．

对于任意实数x1?x2，由于Fi(x1)?Fi(x2)(i?1,2)，可见

F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)，

即F(x)单调不减．根据连续函数的一般性质，由F1(x)和F2(x)的右连续性，可见F(x)也右连续．最后，

x???limF(x)?alimF1(x)?blimF2(x)?0 ；x???x???x???limF(x)?alimF1(x)?blimF2(x)?1 ．x???x???

于是F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是分布函数．

—习题解答●2.21—