难点之四 卫星问题分析

榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com GMm2R此处讨论的就是地球的自转，故，≠mg,

a1GMm2aa而是R= mg+m向.①②显然正确，但无法用来求得2的比值。

又因为，同步卫星与赤道地面上的物体具有相同的角速度，则： 对同步卫星，a1=?r；

2a1r2a对赤道地面上的物体，a2=?R，由此二式可得2=R，故选项A正确。

GMmGM22对选项B，常见这样的解法：因同步卫星在高空轨道，则r=ma1得，a1=r； GMmGM22对赤道地面上的物体，R= ma2得，a2=R。

a1R22a以上二式相比得2=r。其实，这是错误的，----―――这是一种典型的、常见的错误。

GMm2其原因是错误的对“赤道地面上的物体”运用了R= ma2的关系。实际上，“赤道地面

上的物体”是在‘地’上，其随地球自转而需要的向心力并非完全由万有引力提供，而是由

GMmGMm22万有引力与地面的支持力的合力提供，即R= ma2不成立，只有R= mg+ma2才是

正确的。

GMm2同步卫星是在“天”上，其需要的向心力完全由万有引力提供，式r=ma1是成立的。

a1R22a显然，2=r是完全错误的，故选项B错误。

2GMmmV12 对选项C，同步卫星需要的向心力完全由万有引力提供，则，r=r，所以，

V1=

GMr。

GMGMmmV222R，则 V2=R 对于第一宇宙速度，有，R榆林教学资源网 第 17 页 共 27 页 http://www.ylhxjx.com

榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com V1RV 二式相比得：2=r。故选项C正确。

对选项D，因为第一宇宙速度是卫星的最小发射速度，也是卫星的环绕速度，但不是“赤道

地面上的物体”的自转速度。如果忽视了此点而误认为“同步卫星”与“赤道地面上的物体”具有相同的角速度，则必然会由公式V=?r得出： 对同步卫星，V1=?r 对赤道地面上的物体V2=?R

V1rV1rVV二式相比可得：2=R。此比值2=R的结论对于“同步卫星”和“赤道地面上的物体”

的速度之比无疑是正确的，但是选项D中的V2是第一宇宙速度而不是“赤道地面上的物体”的自转速度。故选项D错误。

【总结】 求解此题的关键有三点：

①、在求解“同步卫星”与“赤道地面上的物体”的向心加速度的比例关系时应依据二者角

GM22速度相同的特点，运用公式a=?r而不能运用公式a=r。

②在求解“同步卫星”与“赤道地面上的物体”的线速度比例关系时，仍要依据二者角速度

r； 相同的特点，运用公式V=?r而不能运用公式v =

③、在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时，因均是由万有引力提供向r而不能运用公式V=?r或V=心力，故要运用公式v =。很显然，此处的公式

选择是至关重要的。

9、必须区别天体的自身半径与卫星的轨道半径的不同

宇宙中的天体各自的体积是确定的,其体积的大小可用自身半径的大小进行表述,即体积为

4V=3πR3 ，而这个半径R与绕该天体作匀速圆周运动的卫星(包括人造卫星)的运行轨道半

径r却有本质的不同，卫星运行轨道半径r=R+h (R为所绕天体的自身半径，h为卫星距该天体表面的运行高度)，卫星的轨道半径r总会大于所绕天体的自身半径R。但，当卫星在贴近所绕天体表面做近”地”飞行时,可以认为卫星的轨道半径r近似等于该天体的自身半径R,即R≈r，这一点对估算天体的质量和密度十分重要.

例13：已知某行星绕太阳公转的半径为r，公转周期为T万有引力常量为G，则由此可以求出 ( ) A 此行星的质量 B 太阳的质量 C 此行星的密度 D 太阳的密度

【审题】此题要求解决的问题有两个,1、求行星或太阳的质量，2 、求行星或太阳的密度.求解行星或太阳的质量而不能求出“环绕天体”的质量.在求解行星或太阳的密度时,必须综合

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GMGMgr榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com M4??V和球体积公式V=3πR3，以及万有引力定律公式GMm/r2 =m4π2

运用密度公式

r/T2，并明确给定的是行星的轨道半径r还是太阳的自身半径R,然后依据已知条件求解. 【解析】对A项.因为此行星绕太阳转动，是一个”环绕天体”而不是”中心天体”，无法用题中所给条件求出他的质量。故A选项错误。

对B选项，因为太阳是”中心天体”,依据运用万有引力定律求解天体质量的方法可得

4?2r32GMm/r2 =m4π2 r/T2 ，则有M=GT。显然依据已知条件,运用此式可以计算出太阳的质

量。故B选项正确.

对C选项，由A选项的分析可知，不能求出此行星的质量。并且只知此行星的轨道半径r而不知此行星的自身半径R，也就无法求出行星密度.故C选项错误.。

对D选项.因为在此题中，太阳是一个”中心天体”，求太阳质量的一般思路是：由万有引力定律与匀速圆周运动规律得 GMm/r2=m4π2 r/T2------ ①

4M???3?3由太阳的质量密度关系得 -------②

??由①②两式得太阳的密度为

3?GT2。然而，在此题中这是错误的，其错误的原因是误把

题中给出的行星绕太阳运行的轨道半径r当成了太阳的自身半径R，这是极易出现的解题错误。即此处不能求出太阳的密度。故D选项错误。 【总结】要运行万有引力定律和匀速圆周运动规律计算天体的质量时，必须明确研究对象是一个“中心天体”还是一个“环绕天体”，这种方法只能计算“中心天体”而不是“环绕天体”的质量，要计算天体的密度时，必须明确只能计算“中心天体”的密度，同时还必须知道此“中心天体”的自身半径Ｒ。如果把此题中的行星的轨道半径ｒ误认为是太阳的自身半径Ｒ，则必然会导致解题的错误。

例14：假如一个作匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作匀速圆周运动，则： (A)根据公式

，可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍。

(B)根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的。

(C)根据公式，可知地球提供的向心力将减小到原来的。

(D)根据上述(B)和(C)中给出的公式，可知卫星运动的线速度将减小到原来的。

【审题】解答这个问题不应靠想象和猜测，而应通过合理的推导才能正确地选出答案。在推导的顺序上，可选择变量较少且不易出差错的选项入手。本题所提供的选项中已罗列出了各有关的公式，在解答过程时需要认真思考的是各公式使用的条件，请注意以下内容： 一、在使用分析问题时，不能只看到r与v的关系，还需考虑因r的变化而引起的万

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榆林教学资源网 http://www.ylhxjx.com 有引力F的变化。

二、在使用分析问题时，不能只看到r与向心力的关系，还需考虑万有引力是否

变化？线速度是否变化？

三、地球对人造卫星的引力是向心力的来源，应用来计算；人造卫星绕地球作

圆周运动是向心力的效果，应用来计算。

【解析】由于公式中，G、M、m都是不变的量，因此推导F和r的关系不易出

错。设人造地球卫星原来的圆周运动半径为r1，所受到的地球引力为F1；当人造地球卫星的轨道半径增为r2=2r1时所受到的地球引力为F2，则：

由此可知：选项(C)是正确的。

将向心力的来源公式和向心力的效果公式联系起来，可以写出下列二式：

①

②

将r2=2r1代入②式可得：

-------------------- -③

将①、③两式相除可导出：

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