直线与圆的位置关系

第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)

图形 量化

2．圆与圆的位置关系(两圆半径r1，r2，d＝|O1O2|)

图形 量的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| 相离 外切 相交 内切 内含 方程观点 几何观点 Δ＜0 d＞r Δ＝0 d＝r Δ＞0 d＜r 相离 相切 相交 [小题体验]

1．(教材习题改编)直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是( ) A．相切 C．相离

B．相交

D．随a的变化而变化

解析：选B ∵直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．

2．(教材习题改编)已知过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21＝0所截得的弦长为45，则直线l的方程为________．

答案：x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0

3．已知圆C：x2＋y2－6x＋8＝0，则圆心C的坐标为________；若直线y＝kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k＝________.

解析：圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝1，故圆心坐标为(3,0)；由

2

. 4

|3k|2

＝1，解得k＝±，

41＋k2根据切点在第四象限，可得k＝－答案：(3,0) －

2

4

1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． [小题纠偏]

1．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________． 解析：设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3， 由圆心(1,0)到切线的距离为半径1， 4得k＝，

3

所以切线方程为4x－3y＋1＝0， 又直线x＝2也是圆的切线，

所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2. 答案：x＝2或4x－3y＋1＝0

2．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________. 答案：±25或0

考点一 直线与圆的位置关系?基础送分型考点——自主练透?

[题组练透]

1．(2016·湖北七市联考)将直线x＋y－1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l，则直线l与圆(x＋3)2＋y2＝4的位置关系是( )

A．相交 C．相离

B．相切 D．相交或相切

3

(x－1)，即x＋3y3

解析：选B 依题意得，直线l的方程是y＝tan 150°(x－1)＝－－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝

|－3－1|

＝2，因此该直线与圆相切． 3＋1

2．(易错题)(2016·西安一模)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是( )

A．相切 C．相离

B．相交 D．不确定

解析：选B 法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，|?a＋1?－?a－1?＋2a||2a＋2|故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝.?a＋1?2＋?a－1?22a2＋24a2＋8a＋47a2－4a＋7

再根据r－d＝9－＝，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－222a＋2a＋1

2

2

180＜0，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．

法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由

??x－y＝0，

?解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，?x＋y＋2＝0，?

－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．

3．(2015·大连双基测试)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．

解析：法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－3，3)．

法二：圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝是d＞1，

即

2

>1， k2＋1

2

，直线与圆没有公共点的充要条件k2＋1

解得k∈(－3，3)． 答案：k∈(－3，3)

[谨记通法]

判断直线与圆的位置关系的2大策略

(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．

(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．如“题组练透”第2题、第3题．

考点二 切线、弦长问题?重点保分型考点——师生共研?

[典例引领]

1．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )

A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0 C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0

解析：选A ∵所求直线与直线2x＋y＋1＝0平行，∴设所求的直线方程为2x＋y＋m＝0.∵所求直线与圆x2＋y2＝5相切，∴＋5＝0或2x＋y－5＝0.

2．(2015·宜昌二模)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为23，则a的值为( )

A．2 C．1

B．±2 D．±1

|m|

＝5，∴m＝±5.即所求的直线方程为2x＋y1＋4

解析：选B 设圆x2＋y2＝a2的圆心为O，半径r＝|a|，将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0联立，可得a2＋ay－6＝0，即公共弦所在的直线方程为a2＋ay－6＝0，原点O到直线6?2?6－a?2，解得a＝±－aa2＋ay－6＝0的距离为?，根据勾股定理可得a＝3＋2. ?a??a?

[由题悟法]

1．圆的切线方程的2种求法

(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.

(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.

[提醒] 若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．弦长的2种求法

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2. [提醒] 代数法计算量较大，我们一般选用几何法．