运筹学作业汇总

作业一：

（1） Minf(X)=x12+x22+8

x12-x2≤0 -x1- x22+2=0 x1, x2≥0

解：该非线性规划转化为标准型为：

Minf(X)=x12+x22+8 g1(X)= x2- x12≥0 g2(X)= -x1- x22+2≥0 g3(X)= x1+x22-2≥0 g4(X)= x1≥0 g5(X)= x2≥0

f(X)， g1(X)，g2(X)， g4(X)，g5(X)的海赛矩阵的行列式分别为：

22f(X) f(X) 2 0 x12 x1x2 ∣H∣= = =4>0 22f(X) f(X) 0 2 2 x1x2 x2 2 2 -2 0

g1(X) g1(X) x1 x1x2 ∣g1∣= = =0≥0

22g1(X) 2g1(X) x22 0 0

x1x2 22g2(X) g 2 (X) 0 0 x12 x1x2 ∣g2∣= = =0 22g2(X) g2(X) x1x2 x22 0 -2

设数（0<<1），令C(x)=x2，指定任意两点a和b，则 C(a+(1-)b)=

22

a+(1-)2b2+2(1-)ab·······················（1）

C(a)+(1-)C(b)= a2+(1-)b2·······························（2） 于是 C(a+(1-)b)- (C(a)+(1-)C(b))=a2(2-)-b2(1-)+2(1-)ab

=(2-)(a-b)2≤0

所以C(a+(1-)b) ≤C(a)+(1-)C(b)

故C(x)=x2为凸函数，从而g3(X)= x1+x22-2为凸函数。

从而可知f(X)为严格凸函数，约束条件g3(X)为凸函数，所以该非线性规划不是凸规划。

（2） Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2

x1

2

+x22≤4

5 x1+ x3=10 x1, x2, x3≥0

解：该非线性规划转化为标准型为：

Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2 g1(X)=4- x12-x22≥0 g2(X)= 5 x1+ x3-10=0

g3(X)= x1≥0

g4(X)=X2≥0

g5(X)=X3≥0

f(X)， g1(X)，g2(X)，g3(X)，g4(X)，g5(X)的海赛矩阵的行列式分别为：

∣H∣=

-2 0 =4>0 0 -2

从而可知f(X)为严格凸函数，g1(X)为严格凹函数，又g2(X)为线性函数，所以该非线性规划是凸规划。 作业二：

分别用分数法和0.618法求函数 f(t)=t2-6t+2

在区间[0,10]上的极小点，要求缩小后的区间长度不大于原区间长度的3%。 解：（1）分数法

由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=-7。

由1/Fn≤0.03知，Fn≥33.3，查表得n=8。 取a0=0，b0=10

t1= b0+F7/ F8（a0- b0）=3.824，t1’= a0+F7/ F8（b0- a0）=6.176 f(t1)=-6.321，f(t1’)=3.078，f(t1)< f(t1’) 所以a1=a0=0，b1= t1’=6.176，t2’= t1=3.824

t2= b1+ F6/ F7（a1- b1）=2.353，f(t2)=-6.581，f(t2)

t3= b2+ F5/ F6（a2- b2）=1.471，f(t3)=-4.662，f(t3) >f(t3’) 所以a3= t3=1.471，b3= b2=3.824，t4=t3’= 2.353 t4’= a3+ F4/ F5（b3- a3）=2.942，f(t4’)=-6.997，f(t4) >f(t4’) 所以a4= t4= 2.353，b4= b3=3.824，t5=t4’=2.942 t5’= a4+ F3/ F4（b4- a4）=3.236，f(t5’)=-6.944，f(t5) f(t6’) 所以a6= t6=2.647，b6= b5=3.236，t7=t6’=2.942 t7’= a6+ F1/ F2（b6- a6）=2.942，f(t7) =f(t7’) t7=1/2（a6+ b6）=2.942

令 t7’= a6+（1/2+ε）（b6- a6）=2.942+0.589ε 因为ε可以是任意小数，取ε=0.001，则t7’=2.943 f(t7) >f(t7’)