上海市浦东新区2017届高三4月教学质量检测（二模）数学试题

即选取OP?OQ?

3时养殖场?POQ的面积最大. …………6分 3（2）方案一：围成三角形OAB

?OA?OB?1设?AOB??，由OA?OB?1?OA?OB????，

2??4当且仅当OA?OB?1时取等号. 22所以，S1?1111OA?OBsin????1?（平方千米）， 22481π当且仅当OA?OB?,??时取等号.……………9分

22

方案二：围成弓形CDE

设弓形中扇形所在圆C的半径为r，而扇形圆心角为故r?4π、弧长为1千米， 313. …………10分 ?4π4π3于是S2? ?112π?1?r?r2sin …………11分 223?230?.14（平方千米）4 …………13分

319??28π21π6即S1?S2，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分

19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

x2y2??1，其右顶点为P. 已知双曲线C:43（1）求以P为圆心，且与双曲线C的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l过点P，其法向量为n?(1,?1)，若在双曲线C上恰有三个点P1,P2,P3到直线l的距离均为d，求d的值. 解：（1）由题意，P(2,0)，渐近线方程：y??

3x，即3x?2y?0……………2分 2 则半径r?d?233?4?2221， ……………4分 72所以圆方程为：?x?2??y?12……………6分

7

l（2）若在双曲线C上恰有三个点P1,P2,P3到直线的距离均为d，则其中一点必定是与

直线l:y?x?2平行的直线与双曲线其中一支的切点 ……………8分 设直线l'与双曲线C相切，并且与直线l平行，则l':y?x?b，即有

?y?x?b22yx?8bx?12?4b?0 ……………10分 ，消去，得到?22?3x?4y?12则??64b2?16(3?b2)?0，解得b??1，所以l':y?x?1…………12分

'又d是l与l之间的距离，所以d?1?22?1?2322?或者d? 222……………14分

20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

若数列?An?对任意的n?N，都有An+1?An*k?k?0?，且An?0，

则称数列?An?为“k级创新数列”.

2（1）已知数列?an?满足an?1?2an?2an，且a1?1，试判断数列?2an?1?是否为“2级创新数2列”，并说明理由；

（2） 已知正数数列?bn?为“k级创新数列”且k?1，若b1?10，求数列?bn?的前n项积．Tn；

2（3）设?,?是方程x?x?1?0的两个实根（???），令k??，在（2）的条件下，记数列?cn??的通项cn??n?1?logbnTn， 求证：cn?2?cn?1?cn，n?N*.

222解：（1）由an?1?2an?2an，∴2an?1+1?4an?4an+1，即2an?1?1??2an?1?，

……………………2分

且2a1?1?2?0， ………………………3分 ∴?2an?1?是“2级创新数列” ………………………4分 （2）由正数数列?bn?是“k级创新数列”，得bn+1?bnk?k?0,1?，且bn?0

∴lgbn+1?klgbn， ………………………6分 ∴?lgbn?是等比数列，且首项lgb1?1，公比q?k； ∴lgbn?lgb1?q由Tn?bb12n?1?kn?1； ………………………7分

?lgbn ………………………9分

1?knbn?lgTn?lgb1?lgb2??1?k?k2?1?kn?n?1?k?，∴Tn?101?k?n?N?……………………10分

1?k1?kn?n?1n?1lgTnk ??n?11?（3）由k?，cn??logbnTn??n?1?lgbnk????n???1????n??????n??n??n?11?k???； ……………………12分 ?kn?1?kn???n?1???n??????????????n?12??????1由?,?是方程x?x?1?0的两根，∴?2；……………………14分

??????12?n?1??n?1?n??n1 ∴cn?1?cn????n?1??n?1??n??n? ??????????1?n?2??n?2nn? ?????1??????1????cn?2.…………………16分 ????????

21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于定义域为R的函数g?x?，若函数sin??g?x???是奇函数，则称g?x?为正弦奇函数. 已知f?x?是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f?0??0.

（1）已知g?x?是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin??g?x????1的解”的充要条件是

“?u0为方程sin??g?x?????1的解”； ππ（2）若f?a??,f?b???，求a?b的值；

22（3）证明：f?x?是奇函数. 证明：（1） 必要性：

u0为方程sin??g?x????1的解，即sin??g?u0????1，故sin??g??u0?????sin??g?u0?????1，

即?u0为方程sin??g?x?????1的解.…………………………………………………2分

充分性：

?u0为方程sin??g?x?????1的解，即sin??g??u0?????1，故?sin??g?u0?????1，

sin??g?x????1的解. ………………………………4分 ?g?u0????1，即u0为方程sin?

（2）因为f?b??f?0??f?a?，由f?x?单调递增，可知b?0?a. ……………………5分

由（1）可知，若函数f?x?是正弦奇函数，

则当a为方程sin??f?x????1的解，必有?a为方程sin??f?x?????1的解，

?sin??f??a?????1，即f??a??2mπ?π?m?Z?， 2π?f?b???a?b， 2而?a?0，故f??a??f?0??0，从而f??a???即a?b?0； ……………………7分 同理f??b??2nπ?ππ?n?Z?,f??b??f?0?，故f??b???f?a???b?a， 22即a?b?0； …………………………9分 综上，a?b?0. …………………………10分

（3）f?x?的值域为R且单调递增，故对任意c?R，存在唯一的x0,使得f?x0??c.

…………11分

ππ??可设f?an??nπ?,f?bn????nπ??n?N*，下证an?bn?0n?N*.

22??????当n?1时，由（2）知a1?b1?0,命题成立； ………………………………12分 假设n?k时命题成立，即a1?b1?0,知bk?1?bk??b1?0?a1?,ak?bk?0，而由f?x?的单调性

?ak?ak?1，知?ak?1?bk,?bk?1?ak，

则当n?k?1时，ak?1为方程sinf?x???1的解，故?ak?1为方程sinf?x??1的解， 且由单调性知f??ak?1??f?bk?，故f??ak?1??f?bk?1?，得?ak?1?bk?1；

同理?bk?1?ak?1，故ak?1?bk?1?0. ……………………………………………14分 要证f?x?是奇函数，只需证：对任意x?0，都有f??x???f?x?.

???记a0?b0?0，若x?ann?N*，则?x?bn，f??x????n?????f?an???f?x?；

2????……………………………………………………15分

ππ??若x??a2n,a2n?1??n?N?，则f?x???2n??,2n???,

22????π??π????π??π???f?x?????2nπ??,??2nπ???，?x??b2n?1,b2n?,f??x?????2nπ??,??2nπ???，

2??2??2??2????????π??π??而正弦函数在???2n???,??2n????上单调递增，

2??2????故由sinf??x???sinf?x??sin??f?x??得f??x???f?x?.

若x??a2n?1,a2n?2??n?N?，同理可证得f??x???f?x?. …………………17分 综上，对任意x?0，都有f??x???f?x?.故f?x?是奇函数. ……………18分