上海市浦东新区2017届高三4月教学质量检测（二模）数学试题

2（1）已知数列?an?满足an?1?2an?2an，且a1?1，试判断数列?2an?1?是否为 “2级创新数2列”，并说明理由；

（2） 已知正数数列?bn?为“k级创新数列”且k?1，若b1?10，求数列?bn?的前n项积．Tn；

（3）设?,?是方程x2?x?1?0的两个实根（???），令k?的通项cn??

n?1?，在（2）的条件下，记数列?cn???logbnTn， 求证：cn?2?cn?1?cn，n?N*．

21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

对于定义域为R的函数g?x?，若函数sin??g?x???是奇函数，则称g?x?为正弦奇函数． 已知f?x?是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f?0??0．

（1）已知g?x?是正弦奇函数，证明：“u0为方程sin??g?x????1的解”的充要条件是

“?u0为方程sin??g?x?????1的解”； ππ（2）若f?a??,f?b???，求a?b的值；

22（3）证明：f?x?是奇函数．

浦东新区2016-2017学年度第二学期质量抽测

高三数学试卷 2017.4

注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.

2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，

7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. ?x?2??0?，集合B??y0?y?4?，则A1、已知集合A??x?x?1?B=____[2,4)________.

?x?4?4t,t?R，则直线l在y轴上的截距是_____1______. 2、若直线l的参数方程为?y??2?3t?3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30?，则该圆锥的侧面积为____8π______.

4、抛物线y?12x的焦点到准线的距离为______2_______. 4?215?5、已知关于x,y的二元一次方程组的增广矩阵为??，则3x?y=___5_______.

1?20??6、若三个数a1,a2,a3的方差为1，则3a1?2,3a2?2,3a3?2的方差为 9 .

7、已知射手甲击中A目标的概率为0.9，射手乙击中A目标的概率为0.8，若甲、乙两人各 向A目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A目标的概率是___0.98________.

?2??π??3?8、函数y?sin??x?,x??0,π?的单调递减区间是_____?0,π?__________.

?6??2??3?9、已知等差数列?an?的公差为2，前n项和为Sn，则lim1Sn=_________.

n??aa4nn?110、已知定义在R上的函数f?x?满足：①f?x??f?2?x??0；②f?x??f??2?x??0；③在

2?2x,x?0?1?x,x??1,0????，则函数f?x?与函数g?x???logx,x?0 ??1,1?上的表达式为f?x???1???1?x,x??0,1??2的图象在区间??3,3?上的交点的个数为 6 .

11、已知各项均为正数的数列?an?满足：?2an?1?an??an?1an?1??0n?N?，且a1?a10, 则首项a1所有可能取值中的最大值为 16 . 12、已知平面上三个不同的单位向量a,b,c满足a?b?b?c???1，若e为平面内的任意单位向量，则2a?e?2b?e?3c?e的最大值为_______21__________. 二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确

的，选对得 5分，否则一律得零分.

13、若复数z满足z?i?z?i?2，则复数z在复平面上所对应的图形是 （ D ）

A、椭圆； B、双曲线； C、直线； D、线段. 14、 （ C ）

15、已知2sinx?1?cosx，则cotx= （ C ） 2A、2； B、2或

11； C、2或0； D、或0. 2216、已知等比数列a1,a2,a3,a4满足a1??0,1?，a2??1,2?，a3??2,4?，则a4的取值范围是 （ D ）

A、?3,8?； B、?2,16?； C、?4,8?； D、22,16. 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系O?xyz的原点，半径为1， 且球O分别与x,y,z轴的正半轴交于A,B,C三点.

???31?D0,?,?已知球面上一点???. 22??（1）求D,C两点在球O上的球面距离； （2）求直线CD与平面ABC所成角的大小．

?31?,?解：（1）由题意：A?1,0,0?,B?0,1,0?,C?0,0,1?,D?0,??? 22???31?CD?0,?,??则???，……………………………………………………2分 22??所以CD?1，即?OCD为等边三角形，所以?DOC?π， …………4分 3则DC?ππ?1? …………………………6分 33（2）设直线CD与平面ABC所成角为?，

易得平面ABC的一个法向量n??1,1,1?， …………………………11分

31?CD?n3?3则sin??， …………………………13分 ?22?6CD?n1?3即直线CD与平面ABC所成角??arcsin3?3 …………………………14分 6

18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1） 如图，射线OA,OB为海岸线，?AOB?2π，现用长度为1千米的围网PQ依托海岸线围成一3A

P

个?POQ的养殖场，问如何选取点P,Q，才能使养殖场

?POQ的面积最大，并求其最大面积.

（2）如图，直线l为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.

方案一：围成三角形OAB（点A,B在直线l上），使三角形OAB面积最大，设其为S1； 方案二：围成弓形CDE（点D,E在直线l上，C是优弧DE所在圆的圆心且?DCE?其面积为S2；

试求出S1的最大值和S2（均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.

A B D O

2π），3Q

O B C E 解：（1）设OP?x,OQ?y

22 由余弦定理得1?x?y?2xy???1?1?22?xy??x?y?xy?3xy，…4分 ?3?2?则S?1211333xysinπ????，Smax?（平方千米） 232321212