学×思面授班 高一物理 寒假目标班 讲义 寒假第6讲 - 目标

第6讲 动量和冲量

6.1 动量

知识点睛

在学习机械运动时，我们已经知道速度是描述物体运动性质的物理量。但在实际情况中，有时仅仅知道速度是不够的。例如，一个小孩能非常轻松地接住从远处滚来的塑料球，但是当他用同样的方式去接住一个以同样速度滚来的铅球时，则可能受伤。尽管两球的速度相同，但质量不同，因此使铅球制动的难度比塑料球大得多。

上述事例说明在描述物体的运动性质时，有时需要将质量和速度一起考虑。在前面讨论物体的能

1量问题时，我们用动能来描述物体的运动性质，Ek?mv2，同时含有质量和速度，但是动能是标量，

2不能描述运动的方向。看来我们需要引入新的物理量来描述物体的运动性质。

1．动量

最先提出动量概念的是法国科学家笛卡尔。他继承了伽利略的说法，把物体的大小（质量）与速率的乘积叫做动量，并认为它是量度运动的唯一正确的物理量。不过笛卡尔忽略了动量的方向性。尽管如此，他的工作还是给后人的继续探索打下了很好的基础。

1668年，惠更斯发表了一篇题为《关于碰撞对物体运动的影响》的论文，总结了他对碰撞问题的实验和理论上的研究，其结论是：“每个物体所具有的‘动量’在碰撞时可以增多或减少，但是他们的量值在同一个方向的总和却保持不变，如果减去反方向运动的话。”他在这里明确指出了动量的方向性和守恒性。

牛顿把笛卡儿的定义做了修改，即不用质量与速率的乘积，而明确地用质量与速度的乘积定义动量。这样就可以清楚地表述碰撞前后动量的关系。

动量的定义：物体的质量和它的速度的乘积称为该物体的动量。

表达式：p?mv。

单位：在国际单位制中，动量的单位为千克·米/秒（kg?ms）。

特点：由于速度是矢量，所以动量也是矢量，动量的方向与速度的方向相同。由于物体的运动速度与参考系的选取有关，所以物体的动量具有相对性。（一般选取地面为参考系）

3．动量的变化?p

动量的变化是指某段过程（或时间间隔）末状态的动量p?跟初状态的动量p的差。即?p?p??p。由于动量是矢量，所以动量的变化量也是矢量，需要考虑动量的方向变化。如右图，一个小球以v向右运动，碰撞竖直墙壁并且以v'反弹，以向右为正方向。小球的初动量p向右，末动量p?向左，?p?p??p方向向左。

如果初、末动量在同一条直线上，那么选定正方向后，动量的方向可以用正、负号表示，将矢量运算化为代数运算。如果初、末动量不在一条直线上，则应根据平行四边形法则，或正交分解进行矢量运算。

例如一个质量为5kg小球以初速度v?5m/s与侧壁成45?运动。撞击之后，与侧壁成45?反弹，末

rr速度v'?5m/s，具体情境见下图。物体动量的变化量应该为?p?mv'?mv，最终?p大小为

252kg?m/s，方向向上。

补充阅读

历史上，关于动量和动能哪个是有效描述物体“运动之量”的问题曾经历过很多辨争。 1．辨争的原由

在17～18世纪，由于“力”的概念还不能完全确定，对力的各种效应以及与之相关的各个物理量的意义和使用范围也是不清楚的，因而引发了物理学史上著名的笛卡儿学派和莱布尼茨学派关于力的正确表示方法的一场旷日持久的争论。当时，人们常把力同现在所说的力矩、动量、功、动能等物理量相混淆，习惯于把外加的力称为“运动的力”，把“物体的惯性”称为“物质固有的力”、“阻抗的力”，甚至把“加速度”称为“加速力”，并出现过把“运动的力”与碰撞、向心力相提并论。这种概念上的混乱状况，普遍存在于伽利略、牛顿时期的力学著作中。 2．笛卡儿学派的“动量”

所谓“运动的力”，就是指一个正在运动的物体所具有的使另一物体运动的能力，如推开物体或迫使它向前运动，或者运动物体克服障碍和阻力的能力。那么，这个力决定于哪些量呢？最初，伽利略就认识到“推动者或阻挡者的力（动量）并不是一个简单的概念，它是由两个共同决定运动量度的观念所决定。其一是重量（质量），其二是速度”。笛卡儿在研究碰撞的过程中，认为碰撞是最基本的运动，并从运动量守恒的基本思想出发，沿袭了伽利略的观点，提出应该把物体的质量和速率的乘积作为“力”或物体“运动多少”的量度。1687年，牛顿在他的《自然哲学的数学原理》中明确提出了动量的定义，并且通过他所总结的运动定律，提出在物体的相互作用中，动量这个物理量反映着物体运动变化的客观效果。这样，把动量作为运动的量度，一度得到了科学界的普遍承认。 3．莱布尼茨的“动能”

1686年，莱布尼茨在他的论文中，对笛卡儿学派的这个量度方法提出了批评。他认为：“力必须由它所产生的效果来衡量，例如用它能将一个重物举起的高度来衡量，而不是用它传给另一物体的速度来衡量”。他由此得出，应该用量值mv2而不是用mv来量度物体“运动的力”。 莱布尼茨论证的要点是：当质量为m的物体从高h处降落下来时，它就获得了“运动的力”，如果m使它的运动方向反过来，它就能重新上升到高h处；这个同样的力将能把质量的物体送到高nhn处。这两个物体降落下来时，获得的“运动的力”必然相等。但是，根据伽利略的落体定律，如果第一个物体下落到地面时的速度为v，则第二个物体的速度为v，即两物体落下时获得的运动量不相等。而按照莱布尼茨的量度，上述两物体落下时则有相等的运动量。莱布尼茨由此得出结论：笛卡儿提出的运动的量度是同落体定律相矛盾的，所以mv不适宜充作运动的量度，mv2才是运动的真正量度。 1后来根据科里奥利的建议以mv2代替mv2，这就是后来所说的运动物体的动能。莱布尼茨也看到2了笛卡儿提出的运动的量度在某些情况下是适用的，因此在1696年莱布尼茨指出，“力”有两种，一种是“死力”，它存在于相对静止的物体间，如吊绳的拉力、桌面的支撑力等。“死力”可用物体的质量和该物体由静止状态转入运动状态时所获得的速度的乘积来量度，所以，动量是“死力”1的量度；另一种是“活力”，mv2就是物体的“活力”，正是由于自身具有这种“活力”，物体2才能运动而永不静止。在自然界中真正守恒的东西正是总的“活力”。 莱布尼茨也注意到，在有些情况下，如非完全弹性碰撞中“活力”会减少，但他认为，实际上“活力”并没有损失，而只是被物体内部的微小粒子吸收了，微粒的活力增加了。这个思想是深刻的，可惜他没有进一步地说明。莱布尼茨的发现是有重大意义的。第一，他提出的两种运动量度的矛盾，打破了把mv看做是运动的惟一量度的传统观念，促进了关于运动的量度问题的研究；第二，他所1推崇的新的物理量mv2，其实已超出了对机械运动进行研究的范围。 24．达朗贝尔的“判决” 两种量度的争论，持续了半个世纪之久，不少著名的数学家、物理学家都参加到了争论中去。 1743年，法国力学家达朗贝尔在他的著作《动力学论》的序言里，指出了两种量度的等价性，宣布对争论作出“最后的判决”。他指出，“运动物体的力”只能用物体克服障碍的能力来表示。他把“障碍”分为三类，第一类是“不能克服的障碍”，它“完全消灭一切运动”，所以无论物体的动量或活力如何变化，都不能在这种障碍上表现出来，“它们不能以任何尺度来给力下定义”；第二种是“其阻抗足以使运动停止（而且是在一瞬间做到这一点）的障碍”，即平衡的情况。这时物体克服障碍的能力和物体的动量成正比，所以动量可用来作为“运动物体的力”的量度；第三种障碍是逐渐使运动停止的减速运动情况，“作用是由直到运动完全消失时为止所通过的那段距离表现出来的，而这种作用与速度平方成正比”，因而，活力可作为“运动物体的力”的量度。由此达朗贝尔作出结论：“如果力的量度在平衡状态中和在减速运动中有所不同，这又有什么不方便呢？”这个“判决”，指出了两种量度都有效。达朗贝尔实际上已经发现，正是由于“力”还没有形成一种清晰的概念，所以才产生了这场争论。但他在《动力学论》里轻率地将这一场争论说成是“毫无意义的咬文嚼字的争吵”。因此，他并没有真正地解决问题。表面看来，达朗贝尔的观点是一种模棱两可的态度，但仔细分析，还是具有一定的理论价值的。在这里，达朗贝尔模糊地谈到了动量定理——动量的变化和力的作用时间有关；动能定理——活力的变化与物体运动的距离有关。 5．恩格斯的科学“量度” 19世纪中叶以后，自然科学家们仍然没有从运动量度的这场争论的混乱中完全摆脱出来。恩格斯根据自然科学的最新成就，尤其是能量守恒与转化定律的发现，提示了两种量度的本质区别。 恩格斯指出，在不发生机械运动“消失”而产生其他形式的运动的情况下（如简单机械在平衡条件下的运动传递，完全弹性碰撞的运动传递等），运动的传递和变化都可以用动量mv去量度。就是说，“mv表现为简单移动的，从而是持续的机械运动的量度”；但当发生了机械运动“消失”而其他形式的运动产生，即机械能和其他形式的能（包括势能、内能、电磁能、化学能）相互转化的11过程中、运动的传递和变化都应以mv2去量度。在这里，mv2表现为已经消失了的机械运动的22量度。这样，恩格斯便得出结论：机械运动确实有两种量度，每一种量度适用于某个界限十分明确的范围之内的一系列现象。

想一想

1⒈动能与动量有密切的关系，某实物粒子在速度不太大时的动能可以用它的速度v表示：E?mv2，

2请你导出用动量p表示动能的公式。同样，请你导出用动能E表示动量的公式。

⒉物体的动能相同，动量是否一定相同；动量相同，是否动能一定相同。

例题精讲

题型：动量的定义

【例1】 对于任何一个质量不变的物体，下列说法正确的是：

A．物体的动量发生变化，其速率一定变化 B．物体的动量发生变化，其速率不一定变化 C．物体的速率发生变化，其动量一定变化 D．物体的速率发生变化，其动量不一定变化 【答案】 BC

【例2】 下列说法中，正确的是

A．做匀速圆周运动的物体的动量不变 B．一个物体的速度变化，动量必定变化 C．一个物体的动量变化，速率必定变化 D．凡是做曲线运动的物体动量都在变化

【答案】 BD

【例3】 两个小球的质量分别为m1和m2，且m1?2m2，当它们的动能相等时，它们的动量之比p1:p2? 【答案】 2:1

题型：动量的变化