高考理科数学试题汇编概率

数 学

K单元 概率 K1 随机事件的概率

20．K1、K5、K6、K8、K9[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水年入．．流量．．X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．

(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率． ．．(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系： 4012年入流量X 0 0 20 发电机最多 1 2 3 可运行台数 若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

10

20．解：(1)依题意，p1＝P(40

35

p2＝P(80≤X≤120)＝50＝0.7，

5

p3＝P(X>120)＝50＝0.1. 由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为

01

p＝C4(1－p3)4＋C4(1－p3)3p3＝0.94＋4×0.93×0.1＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．

由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5000，E(Y)＝5000×1＝5000.

②安装2台发电机的情形．

依题意，当40

＝4200，因此P(Y＝4200)＝P(40

Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 所以，E(Y)＝4200×0.2＋10 000×0.8＝8840. ③安装3台发电机的情形．

依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.由此得Y的分布列如下：

Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以，E(Y)＝3400×0.2＋9200×0.7＋15 000×0.1＝8620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．

17．K1，K5，K6，K8[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除2001

分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为2，且各次击鼓出现音乐相互独立．

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列． (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

17．解：(1)X可能的取值为10，20，100，－200.

根据题意，有

?1?1

P(X＝10)＝C3×?2???

?1?2

P(X＝20)＝C3×?2???

1?1?23×?1－2?＝8，

?

?

2?1?13×?1－2?＝8，

?

?

?1?3

P(X＝100)＝C3×?2?

??

3?1?01×?1－2?＝8，

?

?

?1?0

P(X＝－200)＝C3×?2???

0?1?31×?1－2?＝8. ?

?

所以X的分布列为：

X P 10 38 20 38 100 －200 18 18 (2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则 1

P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝8. 所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)

?1?31511＝1－?8?＝1－512＝512. ??

511

因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是512.

331

(3)由(1)知，X的数学期望为EX＝10×8＋20×8＋100×8－15200×8＝－4.

这表明，获得分数X的均值为负．

因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．

K2 古典概型

11．J2、K2[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．

1

11.6 [解析] 本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C710种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中

3

选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有C36C3种方法．故这3

C316C3七个数的中位数是6的概率P＝C7＝6.

10

18．K2、K6、K8[2014·福建卷] 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．

(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：

(i)顾客所获的奖励额为60元的概率； (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．

(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且