学×思面授班初三数学 寒假 目标班讲义 第3讲.圆.目标-目标1班.教师版

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中考第一轮复习

圆

考试内容 中考大纲剖析

考试要求层次 A B 会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题 能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题，能用垂径定理解决有关问题 会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题 能利用弧长解决有关问题 能利用扇形面积解决有关问题 能解决与圆锥有关的简单实际问题 能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题 能利用圆与圆的位置关系解决简单问题 C 能运用圆的性质解决有关问题 能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题 能解决与切线有关的问题 圆的有关概念 圆的性质 理解圆及其有关概念 知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系 了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角 会计算弧长 会计算扇形面积 会求圆锥的侧面积和全面积 了解点与圆的位置关系 了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线，了解切线长的概念 了解圆与圆的位置关系 圆周角 弧长 扇形 圆锥的侧面积和全面积 点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系

本讲结构

知识导航

一、垂径定理

1. 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

2. 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

二、弧、弦、圆心角定理

1. 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

2. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量分别相等．

三、圆周角定理

定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．

四、与圆相关的位置关系

1.点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有： 点在圆外?d?r；点在圆上?d?r；点在圆内?d?r.

2.直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： d?r?直线l与⊙O相离；d?r?直线l与⊙O相切；d?r?直线l与⊙O相交 切线的性质：

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线的判定：

定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

⊙O2的半径分别为r、R（其中R?r）3.圆和圆的位置关系：设⊙O1、，两圆圆心距为d，则有：

d?R?r?两圆外离；d?R?r?两圆外切；R?r?d?R?r?两圆相交； d?R?r?两圆内切；0≤d?R?r?两圆内含.

五、圆中的相关计算公式

设⊙O的半径为R，n?圆心角所对弧长为l，

nπR1. 弧长公式：l?

180n12. 扇形面积公式：S扇形?πR2?lR

36023. 圆柱体表面积公式：S?2πR2?2πRh

4. 圆锥体表面积公式：S?πR2?πRl（l为母线）

六、圆中常见辅助线作法

连半径，得等腰三角形 作相等圆周角 证切线，连半径，证垂直；知切线，连半径，得垂直 作2倍角关系 作直径所对圆知弦长或求周角，得垂直 弦长作弦心距，用勾股 七、圆中常见倒角模型

【编写思路】本讲包括以下知识点：圆的基本性质，包括垂径定理、弦弧圆周角定理、圆周角定理及其推论等的综合运用；点圆、线圆、圆圆位置关系；圆中弧的长度、扇形弓形面积、阴影面积等的求法.知识点较多，容量较大.其中针对中考中“圆”的两问题中的难点——第二问圆中的相似问题进行探究，旨在锻炼学生解决此类问题的方法和速度.

模块一 圆的基本性质

夯实基础

POBC【例1】 （1）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O

A上，∠APC=26°,则∠BOC=_________. （2013贵州遵义）

（2）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连 结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（ ）

A.215 B.8 C.210 D.213 （2013浙江嘉兴）

（3）现有直径为2的半圆O和一块等腰直角三角板

AEOCDB① 将三角板如图1放置，锐角顶点P在圆上，斜边经过点B，一条直角边交圆于点Q，则BQ的长为_____；

② 将三角板如图2放置，锐角顶点P在圆上，斜边经过点B，一条直角边的延长线交圆于Q，则BQ的长为______ . （2013大兴期末）

QPAOBAQPOB

图1 图2

【解析】（1）52°；（2）D.（3）①2，连结OQ，?QOB?2?P?90? ②2.连结AQ，?A??P?45?.

【例2】 （1）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判

断中，不正确的是（ ） ．．．A、当弦PB最长时， △APC是等腰三角形. B、当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC.

C、当PO⊥AC时，∠ACP=30°.

D、当∠ACP=30°，△PBC是直角三角形. (2013安徽中考)

[能力提升

APOBC

（2）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足

CF1?，连 FD3接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S△DEF=4．

其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）． （2013宜宾）

【解析】（1）C，当点P与点B重合时不成立；

（2）①②④.提示：③错误，因为tan∠E= tan∠ADC=

AG5； ?GD4S△DAFAF3??，又S△ADF?35，S△DEFEF4④正确，连结CE，由△AFD∽△CFE可得EF=4，于是

于是S△ADF?45.

模块二 与圆有关的位置关系

夯实基础

【例3】 ⑴ 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴相切于原点O，平行于y轴、