高中数学中轨迹方程的求解方法探讨

江西师范大学09届学士学位毕业论文

高中数学中轨迹方程的求解方法探讨

万依依

探觅曲线的轨迹方程是解析几何的一个基本问题, 这方面的试题能够全面考查学生的数学能力和数学思想, 从而成为历届高考命题的热点之一.解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一。从近几年的高考来看,圆锥曲线简答题也基本上考查了圆锥曲线方程的求法,求曲线的轨迹方程的方法很多, 概括地讲, 其解题方法主要有: 直接法、定义法、转移法、点差法、向量法、几何法、参数法等七种方法。

一、直接法

直接法也叫直译法,若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系, 或这些几何条件简单明确且易于表达, 则只需直接把种关系“ 翻译” 成动点坐标:x,y 的关系式, 经化简所得等式即为所求的轨迹方程.

例1 一个动点到A(-2,0)的距离等于它到B(-8,0) 的距离的2 倍, 求这个动点的轨迹方程.

解: 设P(x,y)为所求轨迹上的任一点, 则有2x+2+y=2()22 x+8+y()2 化简整理得: x2+20x+y2+84=0 即为所求轨迹方程。

例2 与圆x2+y2=25外切与点P(4,3)，且半径为1的圆的方程。

?????6骣2418解: 设所求圆心为M，则OM=(4,3)=琪, 琪,555桫骣2418 \\M琪 琪,55桫骣242骣182x-+琪y-=1 因为圆的半径为1，所以所求圆的方程为琪琪琪桫5桫5

二、定义法

若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等), 可用定义探求解题的切人点.应注意定义中的“ 和”与“差”与两定点之间的距离的大小比较, 这也是判定轨迹的前提条件.

例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两个点P1解：设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)，

(6,1,P2-3,-2,求椭圆方程。

)()

I

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?椭圆经过P1,P2点，\\P1,P2点适合椭圆方程，

11从而有6m+n=1,3m+2n=1,解得m=,n=,

93x2y2\\所求椭圆方程为+=1

93

例4 若抛物线的焦点为(2,2), 准线为x+y-1=0 , 求抛物线的方程. 解: 设P(x,y)为抛物线上任一点, 焦点为F,则由抛物线的定义, 有 |PF|=dd为P到准线的距离, 即(x-2)+(y-2)=22()|x+y-1| 2 化简可得 x2-2xy+y2-6x+6y+15=0

三、转移法

转移法也叫相关点法. 当题设中给出了动点和已知曲线的关系时, 可根据这种关系将已知曲线上点的坐标用动点的坐标表示出来, 并代人已知曲线的方程, 消去参数, 即可得动点的轨迹方程.

例5 设定点M(-3,4)，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹。

骣xy解：设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为琪，线段MN的中点坐标 琪,22桫骣x0-3y0+4,为琪。琪22桫

xx0-3yy0+4=,=. 2222因为平行四边形对角线互相平分，故

ì?x0=x+3则有í，则N(x+3,y-4)。

y=y-4??0又点N在圆x2+y2=4上，故(x+3)+(y-4)=4，

22

II

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骣912骣2128琪-,和-,. 但应出去两点琪琪琪5555桫桫

例6 圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM,PN（M,N分别为切点），使得PM=2PN.试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程。 解：如图所示，已直线O1O2为x轴，线段O1O2为y轴，建立平面直角坐标系，则

O1(-2,0),O2(2,0)2=(x-2)+y2-1, 同理可得 |PN|2

2222|O1P|-|O1M|=(x+2)+y2-1 设动点P(x,y)，由题意得|PM|=?|PM|=2|PN|,

22\\|PM|=2|PN|,

22轾x-22+y2-1,x+2+y-1=2 ()()犏臌即x2+y2-12x+3=0,

所以动点P的轨迹方程是x2+y2-12x+3=0,

\\即点P的轨迹是以点(6,0)为圆心，半径为33的圆。

四、点差法

若轨迹问题中涉及到中点弦问题,就可考虑点差法.只要通过代点作差, 并以中点弦的斜率为桥梁, 即可获得动点的轨迹方程.

y2b222例7 已知椭圆方程为x+=1,点P(a,b)的坐标满足a+ 1,过点P的直线l与

22椭圆交于A,B两点，Q为AB中点，求点Q的轨迹方程。 解：设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y)。

III

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y12y22x+=12当x11x2时，?A,B在椭圆上， ? x2+=1 ? 222x+xy-y?-?整理得 12=-(12),

x1-x2y1+y2?x1+x2=2x,y1+y2=2y,21\\y1-y22x=-x1-x2y

y1-y2y-by-b2x=,\\，得2x2+y2-2ax-by=0 =-x1-x2x-ax-ay而当x1=x2时，AB的斜率不存在，此时直线平行于y轴。

又直线过P点，\\\\AB中点Q必在x轴上，即Q(a,0)显然满足方程2x2+y2-2ax-by=0，

综上，Q点的轨迹方程为2x2+y2-2ax-by=0。

例8 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB，若弦恰好被点Q平分，求弦AB所在直线的方程。

解：设以点Q为中心的弦AB的短点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有 y12=8x1 ? ，y22=8x2 ? ， x1+x2=8 ? ，

y-y y1+y2=2 ④ ，k=12 ⑤.

x1-x2将③④带入（?-?）得 (y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2),

\\y1-y2=4(x1-x2)，\\k=4

\\弦AB所在直线的方程为y-1=4(x-4) 即4x-y-15=0。

五、向量法

利用题设条件中的某些向量之间的关系,特别是垂直与共线的某些关系, 使之与动点M(x,y) 的坐标x,y发生联系, 从而求出其关系式.

例9 如图所示，已知点C的坐标为(0,1)，A,B是抛物线y=x2上不同于原点O的相

??????????????????????????OA?OB0,OM?AB0,异的两个动点，且且AM=lMB(l?R),试求点M的轨迹

方程。

IV