专题11：几何三大变换之旋转探讨

∴Q点的坐标为（﹣

55，）。 2255，）。 22综上所述，符合条件的点Q有两个,坐标分别为：（－2，2），（﹣

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角梯形的判定。

【分析】（1）用待定系数法，将A、B、C的坐标代入y?ax2?bx?c即可求得抛物线的解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标。

（2）分点M在射线ND上和点M在射线NF上两种情况讨论即可。 （3）分PQ∥OB，∠OBP=90°和PB∥OQ，∠BPQ=90°两种情况讨论即可。

例9. （2012辽宁阜新10分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．

（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1； （2）求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留π） （3）求∠BCC1的正切值．

【答案】解：（1）画图如下：

（2）由勾股定理得，OA?22?22?22，

线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，?AOA1为圆心角的扇形，

∴S扇形OAA1?90???22360??2?2?。

答：线段OA在旋转过程中扫过的图形面积为2?． （3）在Rt?BCC1中，tan?BCC1? 答：∠BCC1的正切值是

BC121??。 CC1421。 2【考点】网格问题，旋转变换作图，勾股定理，扇形面积，锐角三角函数的定义。 【分析】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形即可。

（2）先根据勾股定理求出OA的长，再根据线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，

∠AOA1为圆心角的扇形，利用扇形的面积公式得出结论即可。

（3）直接根据锐角三角函数的定义即可得出结论。

例10. （2012山东临沂13分）如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。

∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。 又∵OA=OB=4， ∴OC=

BC=OB?sin60°=4?11OB=×4=2，223=23。 2∴点B的坐标为（﹣2，﹣23）。 （2）∵抛物线过原点O和点A．B，

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[来源学科网]

∴可设抛物线解析式为y=ax+bx，将A（4，0），B（﹣2，﹣23）代入，得

?3a=????16a+4b=0?6，解得?。 ???4a?2b=?23?b=23?3?∴此抛物线的解析式为y=?（3）存在。

如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y）。 ①若OB=OP，则2+|y|=4，解得y=±23， 当y=23时，

在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD=∴∠POD=60°

∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在

同一直线上。

∴y=23不符合题意，舍去。 ∴点P的坐标为（2，﹣23）。

②若OB=PB，则4+|y+23|=4，解得y=﹣23。 ∴点P的坐标为（2，﹣23）。

③若OP=BP，则2+|y|=4+|y+23|，解得y=﹣23。 ∴点P的坐标为（2，﹣23）。

综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣23）。

【考点】二次函数综合题，旋转的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论。

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323。 x+63PD3， ?OP2【分析】（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标。

（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐

标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点。

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1. （2011浙江宁波3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△绕边AB所在直线 旋转一周，则所得几何体的表面积为【 】

(A)4? (B)42? (C)8? (D)82?2.（2011广西北海3分）如图，直线l：y＝x＋2与y轴交于点A，将直线l绕点A旋转90o后，所得直 线的解析式为【 】

A．y＝x－2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝－2x－1

3.(2011四川德阳3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a，0)，B(0，b)，如果将线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是【 】