苏教版高中数学选修(2-3)-1.1典型例题：计数原理的应用

数学思想方法在计数原理中的应用

数学思想方法在解题中的指导作用至关重要，而且，有些问题如果没有正确的数学思想方法作指导是很难理解的。本章蕴涵着丰富的数学思想方法，如主元思想、对应思想、分类思想、整体思想、补集思想、数形结合思想、模型化思想、极端思想等等，学习中要学会运用数学思想方法去思考各种问题，形成良好的思维品质及合理的思维习惯，培养创新思维能力。 1.主元思想

主元思想，就是对题目中的特殊元素、特殊位置优先考虑安排，抓住主要矛盾，进而达到解题目的。

例1.安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人不安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种.

解析：先考虑安排特殊元素甲、乙二人，有A52种排法；当特殊元素甲、乙二人

5?2400种安排方法。安排好后，其余5人有A55种排法。根据乘法原理共有A52?A5

当然，此题亦可考虑用间接法解决。 2.对应思想

对应思想，就是运用集合语言，将所给题目转化为另一个与之等价的问题进行解决。

例2.如果从数1 ，2 ，… ，14中按从小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足a2- a1≥ 3与a3 - a2≥ 3 ，那么所有符合上述要求的不同取法共有多少种？ 解析：设S?｛1 ，2 ，… ，14｝，T?｛1 ，2 ，… ，10｝，P?｛（a1，a2，

a3）｜a1，a2，a3∈S，a2- a1≥ 3 ，a3 - a2≥ 3 ｝，Q?｛（b1，b2，b3）｜

b1，b2，b3∈T，b1＜b2＜b3｝，

（a1，a2，a3）→（b1，b2，b3），其中，b1 = a1，b2 = a2- 2 ，b3 = a3- f：4

易证f是P和Q之间的一个一一对应，故题目所求的取法种数恰好等于从T中任

3意取出三个不同数的取法种数C10 ，共有120种。

3.分类思想

分类思想，就是将问题分成几个局部的问题逐一去解决的方法策略。本章提供了大量分类思想的实例，结合实例进行分类思想的学习，更能帮助我们正确运用有关公式解决排列组合应用问题。

例3.设集合Ⅰ=｛1 ，2 ，3 ，4 ，5｝，选择Ⅰ的两个非空子集Ａ和Ｂ，要使Ｂ中最小的数大于Ａ中最大的数，则不同的选择方法共有种（ ） A.50 B.49 C.48 D.47 简析 ：按A中最大的数可分四类：

（1）当A中最大的数为1时，则B为｛2 ，3 ，4 ，5｝的非空子集，有24?1 = 15（个）；

（2）当A中最大的数为2时，则B为｛3 ，4 ，5｝的非空子集，

（3）当A中最大的数为3时，则B为｛4 ，5｝的非空子集，有22?1?3（个），

012?C2?C2?4（个）而这时的A有C2，故共有3×4 = 12（个）；

（4）当Ａ中最大的数为4时，则B为｛5｝的非空子集，只有1个，而这时的A

13?C32?C3?8（个）有C30?C3，故共有1×8 = 8（个）；

综上所述，共有15 + 14 + 12 + 8 = 49（种），选B

点评：本题的分类标准是不定因素：条件不唯一。通过本例，可要理解分类的标准，避免“重复”、“遗漏”现象的发生噢！ 4.整体思想

有时，研究问题若能有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构，从而使问题获解。这就是整体思想。本章的整体思想，就是将某些有特殊要求的元素（如相邻等）看作一个整体参与排列；或者将元素作位置对应。

例4. 8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站两个男孩，那么共有多少种不同的排列方法？（只要把圈旋转一下就重合的排法认为是相同的） 解析：显然符合条件的圆排列数就是以某女孩打头的直排列数。现在以○代表女孩所站的位置，以╳代表男孩所站的位置，则在每个○后至少有两个╳。让每个○“吸收了”它紧后的两个╳作为一个整体，记为●。则每个○，╳排列对应成一个

●，╳排列。

○╳ ╳ ○╳ ╳ ╳ ○╳ ╳ ┅ ● ● ╳ ● ┅

7后一种排列的个数显然是从16个位置中选出7个位置的组合数，即C16种，以上7表明男、女孩的位置排列共有C16种方法。对每种位置排列，女孩站上去有7！7种方法（Ａ固定站首位），男孩站上去有25！种方法，故总的排列方法数为C16? 7！

? 25！ = 16！? 25！／9！ 5.补集思想

某些排列组合问题，可采用先求总的排列数，再减去不符合要求的排法种数获得解决，这就是补集思想，有时也称逆向思维。

例5.从0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？

解析：从这10个数中取出3个不同的偶数的取法有C53种；取1个偶数和2个不

12C5种。从这10个数中取出3个数，使其和为小于10的偶同的奇数的取法有C512C5 - 9 = 51种. 数，有9种不同的取法。故符合题设条件的不同取法有C53 +C56.数形结合思想

数型结合是数学解题的主要思想，若能针对排列组合题目的特点作出图形，可使问题变得简单、直观，更易于解决。

例6.集合A、B的并集A∪B=｛a1，a2，a3｝，当A≠B时，（A，B）与（B，A）视为不同的对，

则这样的（A，B）对有多少个？ 解析：作出集合A、B的图形如右图。

依题意，a1，a2，a3可以在图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的任意

一个位置，并且每一种位置都有相应不同的A、B，从而（A，B）对的个数与a1，

a2，a3在图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的对应位置种数相等，共有33?27个

7.模型化思想

构造数学模型解题，可帮助我们多角度思考问题，培养我们思维的深刻性、灵活性，发展思维的广阔性，从而培养考生数学建模能力和数学应用能力。 例7.某工厂利用该厂闲置的机器协作加工A，B，C，D，E五种产品，每台机器只允许加工任意两种产品。加工时，任意两种产品中只有一台机器是共用的，且要求加工每种产品所用的机器台数相等。请求出该厂闲置机器的台数。 解析：可构造模型：有5条直线，任意两条直线仅有一个公共点，每一点仅在两条直线上，每条直线上的点数相同，求总共有多少交点？显然，交点数为C52 = 10 ，故该厂闲置机器为10台。 8.极端思想

极端思想，就是针对符合题目条件的端点值进行分析转化，从而获得求解的思路。 例8.设M ={ 1 ，2 ，3 ，… ，1995 }，A是M的子集且满足条件当x∈A时，15x?A，则A中的元素最多有多少个？

解析：n（A）表示集合A所含元素的个数，考虑1995 ÷ 15 = 133 ，133 ÷ 15 = 8（余13） ，取A = { 1 ，2 ，… ，8 ，134 ，135 ，… ，1995 }，A满足题设条件，此时n（A）=1870

又由题设知，k与15k（k= 9 ，10 ，… ，133）这两个数中至少有一个不属于A，∴至少有125（= 133 – 9 + 1）个数不属于A，即n（A）≤ 1870 。故n（A）最大值为1870