苏科版2020年中考数学模拟试题及答案(含详解) (21)

∴∠OCE=∠CED=90°

∴OC⊥CE，又∵点C在圆上， ∴CE是圆O的切线． （2）连接AC

∵AB是直径，点F在圆上 ∴∠AFB=∠PFE=90°=∠CEA ∵∠EPF=∠EPA ∴△PEF∽△PEA ∴PE2=PF×PA

∵∠FBC=∠PCF=∠CAF 又∵∠CPF=∠CPA ∴△PCF∽△PAC ∴PC2=PF×PA ∴PE=PC

在直角△PEF中，sin∠PEF=

=．

【点评】本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC是解决本题的难点和关键．

24．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

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【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1﹣﹣y0）m2+（2﹣2x0+2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1=4a，解得：a=，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2=x2﹣x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：

，解得：，，

∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．

作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

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∵点B（4，1），直线l为y=﹣1， ∴点B′的坐标为（4，﹣3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴直线AB′的解析式为y=﹣当y=﹣1时，有﹣解得：x=

，

x+，

x+=﹣1，

∴点P的坐标为（，﹣1）．

（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等， ∴（m﹣x0）2+（n﹣y0）2=（n+1）2， ∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0n+y02=2n+1． ∵M（m，n）为抛物线上一动点， ∴n=m2﹣m+1，

∴m2﹣2x0m+x02﹣2y0（m2﹣m+1）+y02=2（m2﹣m+1）+1， 整理得：（1﹣﹣y0）m2+（2﹣2x0+2y0）m+x02+y02﹣2y0﹣3=0． ∵m为任意值，

∴，

∴，

∴定点F的坐标为（2，1）．

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【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

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