蝶形定理

蝶形定理

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蝶形定理有三条性质

如下图所示：三角形ABC位于两条平行线之间，三角形的底边BC位于其中的一条平行线，而顶点A在另一条平行线上。

显然，经过运动后的新三角形PBC与原来的三角形ABC比较，形状发生了变化，但是，它们的面积是相等的。因为这两个三角形等底等高。

性质1：三角形的一个顶点在平行线上运动不改变图形的面积。（图1中：Ｓ△PBC=Ｓ△ABC）

性质2：如上图2所示，Ｓ△ABO=Ｓ△ PCO的面积

由于上图的构图像蝴蝶的翅膀，我们把性质1、性质2形象地叫做“蝶形定理”。 性质3：如上图3所示，图中阴影三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

知识应用 奥数纵横

例1、如图4，正方形ABCD的边长是4厘米，CG= 3厘米，长方形DEFG的长为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？

例2、如图5, ABCD是长方形，DEFG是平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知，三角形AFK与三角形ADG面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。求△BEK的面积。

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练习：

1、 如图6所示，长方形ABCD的长为25厘米，宽为15厘米，四对平行线截长方形各边所得的线段如图中标出，且横向的两组平行线都与BC平行，求阴影部分的面积。

2、 如图7、正方形的边长为10厘米，四边形ABCD的面积是6平方厘米，求阴影部分的面积。

例3、如图8中，ABCD是直角梯形，（∠DAB=∠ABC=90），以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。连接BE交于P,连接PC,求图中阴影部分的面积。

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例4、如图9中，过平行四边形ABCD的顶点D作直线DF,交直线BC于E,请比较△ABE与△CEF的大小。

练习：

3、如图10所示、在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米，求阴影部分的面积。

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4、如图11所示，若长方形AEOG、DEOH、BFOG的面积分别是4、6、8，求阴影部分的面积是多少？

例5、如图12，长方形ABCD的长为12厘米，宽为8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，求OG长。

例6、如下图13，正方形ABCD的边长为12厘米，P是边AB边上的任意一点，M,N,I,H分别是BC,AD上的三等分点，E,F,G是边CD上的四等分点，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

练习

5、如图14所示，O是平行四边形内的一点，AB=3BE,已知三个空白三角形的面积分别是19、20、35平方厘米，求三角形DOC的面积是多少。

6、如图15，正方形的边长为6厘米，E、F为二等分点，G、M、N为三等分点，O为正方形内任意一点，求阴影部分的面积。

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