2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷[1]

所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0）， 联立

．…（6分）

，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，

，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=

，

，…（10分）

所以所以

，

则．…（14分）

【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．

18．（16分）（2017?盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足

．

（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？

（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）

【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设

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太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，

得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论； （2）方法一：设太阳光线所在直线方程为

，利用直线与圆相切，求出

直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；

方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大

【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．

（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6）， 半径r=9．设太阳光线所在直线方程为即3x+4y﹣4b=0，…（2分） 则由解得b=24或

， （舍）．

，…（5分）

，

故太阳光线所在直线方程为令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．

所以此时能保证上述采光要求…（7分）

（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r． 方法一：设太阳光线所在直线方程为即3x+4y﹣4b=0，由

，

，

解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分） 故太阳光线所在直线方程为令x=30，得所

，由

，

，得h≤25﹣2r…（11分）

以=

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．

当且仅当r=10时取等号．

所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分） 方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），

设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30）， 即3x+4y﹣100=0…（10分） 由直线l1与半圆H相切，得

．

而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0， 即又

当且仅当r=10时取等号．

所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）

，从而h=25﹣2r…（13分）

=

．

【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

19．（16分）（2017?盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

﹣3（a∈R）．

（1）当a=2时，解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）； （2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；

（3）当a=1时，记h（x）=f（x）?g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参

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考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．

【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；

（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+

﹣3，φ′（x）=

，分类

讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间； （3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论． 【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=g（ex）=0，可得ex=或ex=1， ∴x=﹣ln2或0；

（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+①a=0，φ′（x）=②a=1，φ′（x）=③0＜a＜1，x=④a＞1，x=⑤a＜0，x=

﹣3，φ′（x）=

1，

＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）； ?x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）； ＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；

＞0，函数的单调递增区间是（＞0，函数的单调递增区间是（0，

，+∞）；

）；

（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1， h″（x）=+

＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，

，

∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+

h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增， ∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+

）+6，

∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（，2）， ∴h（x0）∈（﹣，﹣），

∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨

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