2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷[1]

圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．

【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=， 函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=即为

x﹣y+y0﹣2=0；

（x﹣x0），

圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2， 即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0； 由切线重合，可得

=

=

，

即x0（3﹣x0）=2y0，

则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点， 且该二次函数图象过O，M，

则当x=时，二次函数取得最大值， 故答案为：．

【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．

14．（5分）（2017?盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为 ．

【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣

，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣

（c2﹣）2，从而利

用二次函数的性质可求最值．

【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC， 可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（

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）2]，

∵a2+b2+2c2=8，

∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立， ∴S2=a2b2[1﹣（=a2b2[1﹣（=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣=﹣

+c2

（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，

+c2取得最大值，S的最大值为

．

）2]

）2]

∴当c2=时，﹣故答案为：

．

【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（14分）（2017?盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点． （1）求证：B1C1∥平面A1DE； （2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．

【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE； （2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．

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【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分） 又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分） 又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分） （2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC， 又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分） 又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）

又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分） 又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）

【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

16．（14分）（2017?盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB． （1）求角C； （2）若

，求sinA的值．

【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求

，结合范围C∈（0，π），可求C的值．

）的值，由于

（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣A=

﹣（B﹣

），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．

【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）

因为sinB＞0，sinC＞0， 所以

，…（4分）

又C∈（0，π）， 所以

．…（6分）

， ，

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（2）因为所以

所以又所以又所以=

，即

，

，

．…（8分）

， =sin[

﹣（B﹣

）]…（12分）

．…（14分）

【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．

17．（14分）（2017?盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆

（0＜b＜2）的焦点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1?k2的值．

【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程； （2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1?k2的值． 【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，

又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）

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