2018届高三理科数学(新课标)：专题二 函数与导数 专题能力训练7 Word版含答案

又不等式

f(m+1)

等价于,

即g(m+1)

13.解(1)由f(x)=,知x∈(-1,0)∪(0,+∞).

所以f'(x)=-

令h(x)=1+(x+1)ln(x+1),

则h'(x)=1+ln(x+1).令h'(x)=0,得x=-1,

易得h(x)在区间内单调递减,在区间内单调递增.

所以h(x)min=h=1->0,∴f'(x)<0.

故f(x)的单调递减区间为(-1,0),(0,+∞). (2)当x>0时,f(x)>恒成立,

则k<(x+1)f(x). 令g(x)=(x+1)f(x)=

,则g'(x)=

令φ(x)=1-x+ln(x+1)(x>0)?φ'(x)=-<0,所以φ(x)在区间(0,+∞)内单调递减.又φ(2)=ln3-1>0,φ(3)=2ln2-2<0,

则存在实数t∈(2,3),使φ(t)=0?t=1+ln(t+1).

所以g(x)在区间(0,t)内单调递减,在区间(t,+∞)内单调递增. 所以g(x)min=g(t)=

=t+1∈(3,4),故kmax=3.

14.解(1)因为f(1)=1-=0,所以a=2.

此时f(x)=lnx-x2+x,x>0. 则f'(x)=-2x+1=

(x>0).

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令f'(x)<0,则2x2-x-1>0. 又x>0,所以x>1.

所以f(x)的单调递减区间为(1,+∞).

(2)(方法一)令g(x)=f(x)-(ax-1)=lnx-ax2+(1-a)x+1,则g'(x)=-ax+(1-a)=

当a≤0时,因为x>0,所以g'(x)>0. 所以g(x)在区间(0,+∞)内是增函数,

又g(1)=ln1-a×12+(1-a)+1=-a+2>0,所以关于x的不等式f(x)≤ax-1不能恒成立.

当a>0时,g'(x)==-(x>0),

令g'(x)=0,得x=

所以当x时,g'(x)>0;当x时,g'(x)<0,

因此函数g(x)在x内是增函数,在x内是减函数.

故函数g(x)的最大值为g=lna+(1-a)+1=-lna.

令h(a)=-lna,

因为h(1)=>0,h(2)=-ln2<0,又h(a)在a∈(0,+∞)内是减函数,且a为整数, 所以当a≥2时,h(a)<0. 所以整数a的最小值为2.

(方法二)由f(x)≤ax-1恒成立,得lnx-ax2+x≤ax-1在(0,+∞)内恒成立,

问题等价于a在区间(0,+∞)内恒成立.

令g(x)=,

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因为g'(x)=,

令g'(x)=0,得-x-lnx=0.

设h(x)=-x-lnx,

因为h'(x)=-<0,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递减,

不妨设-x-lnx=0的根为x0.

当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)内是增函数;在x∈(x0,+∞)内是减函数.所以g(x)max=g(x0)=

因为h=ln2->0,h(1)=-<0,

所以

即g(x)max∈(1,2).

所以a≥2,即整数a的最小值为2. (3)证明:当a=-2时,f(x)=lnx+x2+x,x>0. 由f(x1)+f(x2)+x1x2=0, 得lnx1+

+x1+lnx2+

+x2+x1x2=0,

从而(x1+x2)2+x1+x2=x1·x2-ln(x1·x2). 令t=x1·x2(t>0),φ(t)=t-lnt,则φ'(t)=

可知,φ(t)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. 所以φ(t)≥φ(1)=1,所以(x1+x2)2+x1+x2≥1,因此x1+x2

或x1+x2

(舍去).

15.解(1)由题意f(π)=π2-2,

又f'(x)=2x-2sinx,所以f'(π)=2π,

因此曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为y-(π2-2)=2π(x-π),即y=2πx-π2-2. (2)由题意得h(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)-a(x2+2cosx),

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因为h'(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx) =2ex(x-sinx)-2a(x-sinx) =2(ex-a)(x-sinx),

令m(x)=x-sinx,则m'(x)=1-cosx≥0, 所以m(x)在R上单调递增.

因为m(0)=0,所以当x>0时,m(x)>0; 当x<0时,m(x)<0.

①当a≤0时,ex-a>0,当x<0时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x>0时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

②当a>0时,h'(x)=2(ex-elna)(x-sinx),由h'(x)=0得x1=lna,x2=0.

(ⅰ)当00,h(x)单调递增; 当x∈(lna,0)时,ex-elna>0,h'(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,ex-elna>0,h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以当x=lna时h(x)取到极大值.

极大值为h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2], 当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

(ⅱ)当a=1时,lna=0,所以当x∈(-∞,+∞)时,h'(x)≥0,函数h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值; (ⅲ)当a>1时,lna>0,所以当x∈(-∞,0)时,ex-elna<0,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈(0,lna)时,ex-elna<0,h'(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(lna,+∞)时,ex-elna>0,h'(x)>0,h(x)单调递增. 所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;

当x=lna时h(x)取到极小值,极小值是h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2]. 综上所述:

当a≤0时,h(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值是h(0)=-2a-1;

当0

当a=1时,函数h(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增,无极值;

当a>1时,函数h(x)在区间(-∞,0)和(lna,+∞)上单调递增,在区间(0,lna)上单调递减,函数h(x)有极大值,也有极小值,极大值是h(0)=-2a-1,极小值是h(lna)=-a[ln2a-2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].

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