2012年高考试题汇编 - 理科数学：圆锥曲线 - 图文

【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。本题考查综合性较强，运算量较大。在求解点M的轨迹方程时，要注意首先写出直线AA1和直线A2B的方程，然后求解。属于中档题，难度适中。

22.【2012高考真题湖北理】（本小题满分13分）

设A是单位圆x2?y2?1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x 轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|?m|DA|(m?0,且m?1). 当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴

上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的k?0，都有PQ?PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）如图1，设M(x,y)，A(x0,y0)，则由|DM|?m|DA|(m?0,且m?1)，

可得x?x0，|y|?m|y0|，所以x0?x，|y0|?1|y|. ① m因为A点在单位圆上运动，所以x02?y02?1. ②

y2将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x?2?1 (m?0,且m?1).

m因为m?(0,1)?(1,??)，所以

2当0?m?1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(?1?m2,0)，(1?m2,0)； 当m?1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0,?m2?1)，(0,m2?1).

（Ⅱ）解法1：如图2、3，?k?0，设P(x1,kx1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?kx1)，N(0,kx1)，

直线QN的方程为y?2kx?kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得 (m2?4k2)x2?4k2x1x?k2x12?m2?0.

依题意可知此方程的两根为?x1，x2，于是由韦达定理可得 4k2x1m2x1，即x2?2. ?x1?x2??2m?4k2m?4k22km2x1因为点H在直线QN上，所以y2?kx1?2kx2?2. 2m?4k????????4k2x12km2x1于是PQ?(?2x1,?2kx1)，PH?(x2?x1,y2?kx1)?(?2,).

m?4k2m2?4k2????????4(2?m2)k2x12而PQ?PH等价于PQ?PH??0，

m2?4k2即2?m2?0，又m?0，得m?2，

y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，都有PQ?PH.

2 y y y H A H N P P NM 2

O D x Q O x

Q O x

图1 图2 (0?m?1) 第21题解答图

图3 (m?1)

解法2：如图2、3，?x1?(0,1)，设P(x1,y1)，H(x2,y2)，则Q(?x1,?y1)，N(0,y1)，

2222??mx1?y1?m,因为P，H两点在椭圆C上，所以?22 两式相减可得 22mx?y?m,??22m2(x12?x22)?(y12?y22)?0. ③

依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合， 故(x1?x2)(x1?x2)?0. 于是由③式可得

(y1?y2)(y1?y2)??m2. ④

(x1?x2)(x1?x2)又Q，N，H三点共线，所以kQN?kQH，即

2y1y1?y2?. x1x1?x2于是由④式可得kPQ?kPHy1y1?y21(y1?y2)(y1?y2)m2. ??????x1x1?x22(x1?x2)(x1?x2)2而PQ?PH等价于kPQ?kPHm2??1，即???1，又m?0，得m?2，

22y2故存在m?2，使得在其对应的椭圆x??1上，对任意的k?0，都有PQ?PH.

223.【2012高考真题北京理19】（本小题共14分）

x2y2【答案】解：（1）原曲线方程可化简得：??1

885?mm?28?8??5?mm?2??87?0由题意可得：?，解得：?m?5

2?5?m?8?m?2?0?（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：(2k2?1)x2?16kx?24?0，

?=32(2k2?3)，解得：k2?3 2由韦达定理得：xM?xN?16k24①，，② xx?MN2k2?12k2?1设N(xN,kxN?4)，M(xM,kxM?4)，G(xG，1)

MB方程为：y??3xM?kxM?6，1?， x?2，则G?xM?kxM?6??????3xM?????，?1?，AN??xN，xNk?2?， ?AG??xk?6?M?????????欲证A，G，N三点共线，只需证AG，AN共线

即

3xM(xNk?2)??xN成立，化简得：(3k?k)xMxN??6(xM?xN)

xMk?6将①②代入易知等式成立，则A，G，N三点共线得证。 24.【2012高考真题广东理20】（本小题满分14分）

x2y22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2?2?1(a?b?0)的离心率e=，且椭圆

3abC上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3. （1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

【答案】本题是一道综合性的题目，考查直线、圆与圆锥曲线的问题，涉及到最值与探索性问题，意在考查学生的综合分析问题与运算求解的能力。

25.【2012高考真题重庆理20】（本小题满分12分（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问7分） 如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F1,F2，线段 的中点分别为B1,B2，且△AB1B2 是面积为4的直角三角形. （Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；

（Ⅱ）过 做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2?QB2，求直线l的方程