概率论与数理统计11习题十一参考答案

概率统计——习题十一参考答案

n?12n?111.1 ?E[C?(Xi?1?Xi)]?C?E(Xi2?1?2XiXi?1?Xi2)

i?1n?1222222i?1令 ?C?(????2?????)?C?2(n?1)???2，

i?1可解得C?12(n?1). ?当C?n?1n12(n?1)时，原估计量为?2的无偏估计量。

Xi?X11.2 ?Xi?X~N(0,1kn?),2???(n?1)/n~N(0,1),

?)??E(?E(?|Xi?X|)?i?1?k(n?1)/n?nE|?|??k(n?1)/n?n2/?.

令其等于?，即得：k?2n(n?1)?.

2211.3 ?E(X)?E(X)??,P{|X??|??}?D(X)?2??n??0,n??,

故X是? 的一致性估计量。 11.4 ?(n1?1)S1?22~?(n1?1)，

2(n2?1)S2?22~?(n2?1)，

2?E[(n1?1)S1?22]?(n1?1)，E[(n2?1)S2?22]?(n2?1)，

D[(n1?1)S1?22]?2(n1?1)，D[(n2?1)S2?22]?2(n2?1)。 2?4于是

2E(S1)??，

222E(S2)??，

22D(S1)?n1?12，

2D(S2)?2?4n2?122。

2?E(aS1?bS2)?aE(S1)?bE(S2)?(a?b)?，即Z?aS1?bS2为?的无偏估计。

D(Z)?2D(aS1222?bS)?a2222D(S1)?b22D(S2)?2?(4a2n1?1?b2n2?1)?2?(4a2n1?1?(1?a)2n2?1)，

由

dD(Z)da?0?a?n1?1n1?n2?2，?b?1?a?n2?1n1?n2?2。

11.5 提示：先求出??L?X(n)，再写出X(n)的概率密度，最后讨论是否有E??L??？

11.6 提示：令Yi?Xi?Xn?i,i?1,?,n，说明?(Xi?Xn?i?2X)?2i?1nn?(Yi?1i?Y)2，且

Yi,i?1,?,n相互独立，从而得出证明。

11.7 置信区间；置信度；越短 11.8 可算得x?6.0, (1) 引进r.v.U?s?0.5745.

X???n由P{|U|?z?/2}?1???0.95，可解得?的置信度为0.95~N(0,1)，

的置信区间为x?z0.025?/n?6.0?1.96(0.6/3)?(5.608,6.392). (2) 引进r.v.T?X??Sn~t(n?1)，由P{|T|?t?/2}?1???0.95，可解得?的置信度为0.95

的置信区间为x?t0.025(n?1)s/n?6.0?2.3060(0.5745/3)?(5.5584,6.4416).