【新课标II卷】2020年全国统一高考数学模拟试题(理)(含答案)

参考答案:

一、选择题 1.D 7.B

2.A 8.C

3.B 9.C

4.B 10.A

5.A 11.C

6.A 12.D

二、填空题 13.y?2x 三、解答题 17. (12分)

解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15. 由a1??7得d=2.

所以{an}的通项公式为an?2n?9.

22（2）由（1）得Sn?n?8n?(n?4)?16.

14.9 15.?1 216.402π

所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为?16. 18.(12分)

解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

???30.4?13.5?19?226.1(亿元). y利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为

??99?17.5?9?256.5(亿元). y（2）利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：

（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y??30.4?13.5t上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至

??99?17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变2016年的数据建立的线性模型y化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.

（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)

解：（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0). 设A(x1,y1),B(x2,y2)，

?y?k(x?1),2222由?2得kx?(2k?4)x?k?0. ?y?4x2k2?4. ??16k?16?0，故x1?x2?k224k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?. 2k4k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1. k2因此l的方程为y?x?1.

（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则

?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y??6.y?2?16.?0?0?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144. 20.(12分)

解：（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC的中点，所以OP?AC，且OP?23. 2222连结OB.因为AB?BC?且OB?AC，OB?2AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 21AC?2. 2222由OP?OB?PB知PO?OB.

由OP?OB,OP?AC知PO?平面ABC.

uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O?xyz.

uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,?2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP?(0,2,23),取平面PAC的法uuur向量OB?(2,0,0).

uuur设M(a,2?a,0)(0?a?2)，则AM?(a,4?a,0).

设平面PAM的法向量为n?(x,y,z).

uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取n?(3(a?4),3a,?a)，

??ax?(4?a)y?0uuur所以cosOB,n?uuur3.由已知得|cosOB,n|?.

222223(a?4)?3a?a23(a?4)所以23|a?4|23(a?4)2?3a2?a2=34.解得a??4（舍去），a?. 23uuuruuur834343,,?).又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?所以n?(?. 3334所以PC与平面PAM所成角的正弦值为21．（12分）

2?x【解析】（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x?1)e?1?0．

3. 4设函数g(x)?(x?1)e2?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x．

当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1． （2）设函数h(x)?1?axe．

2?xf(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．

（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e?x．

当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增． 故h(2)?1?4a是h(x)在[0,??)的最小值． e2e2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；

4e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；

4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，

433316a16a16a1?1??0． 由（1）知，当x?0时，ex?x2，所以h(4a)?1?4a?1?2a2?1?4e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．

e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．

422．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

x2y2【解析】（1）曲线C的直角坐标方程为??1．

416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程