设总体的二阶矩阵存在，x1,...,xn为其样本，求xi-（x的拔）与xj-（x的拔）的相关系数的详细总结

干货来了：详细总结概率统计习题：

设总体的二阶矩阵存在,x1,...,xn为其样本，求xi-（x的拔）与xj-（x的拔)的相关系数

先看看作业帮上三个版本的问答：

问答一：

题目 设总体的二阶矩存在,x1,x2,.xn为其样本,求xi-（x的拔）与xj-（x的拔）（i≠j）的相关系数 Cov(xi-（x的拔）,xj-（x的拔）)=σ^2/n我知道怎么算 D(xi-（x的拔))=D(xj-（x的拔))=E[(xi-（x的拔))^2]-[E(xi-（x的拔))]^2=(n-1)*σ^2/n这里我看不懂啊 E[(xi-（x的拔))^2]怎么算都是(n+1)*σ^2/n啊 数学 tizj624 2014-12-01 优质解答 D(xi-（x的拔))=D(xi)+D(（x的拔))-2cov(xi,（x的拔)) =σ^2+σ^2/n-2*σ^2/n=(n-1)*σ^2/n 另外 Cov(xi-（x的拔）,xj-（x的拔）)=-σ^2/n 以上结论要求x1,x2,.xn相互独立 zffgsa63a 2014-12-01 这个解答的结论是正确的，可惜失之简略，让人不明白中间过程。 再看第二个：

题目 设总体的二阶矩阵存在,x1,...,xn为其样本,求xi-（x的拔）与xj-（x的拔)的相关系数 数学 死鬼A01742014-12-01 优质解答 E(xi-（x的拔））=0;E(xj-（x的拔）)=0; E[(x的拔)^2]=D(x的拔)+[E(x的拔)]^2=σ^2/n +μ^2; Cov(xi-（x的拔）,xj-（x的拔）)=E[(xi-（x的拔）)(xj-（x的拔）)]-E(xi-（x的拔）)E(xj-（x的拔）)=E[(xi-（x的拔）)(xj-（x的拔）)]=E(xi)*E(xj)-E(xi+xj)*E(x的拔)+E[(x的拔)^2]=μ^2-2μ^2+σ^2/n +μ^2 =σ^2/n; D(xi-（x的拔))=D(xi-（x的拔))=E[(xi-（x的拔))^2]-[E(xi-（x的拔))]^2=(n-1)*σ^2/n;相关系数ρ=Cov(xi-（x的拔）,xj-（x的拔）)/[D(xi-（x的拔))*D(xi-（x的拔))]^(1/2)=(σ^2/n)/[(n-1)*σ^2/n]=(n-1)^(-1). 新爵_戔 2014-12-01 作答的这位朋友给出了详细的过程，很可惜他因为概念上的错误也把协方差算成了σ^2/n，请看：

Cov(xi-（x的拔）,xj-（x的拔）)=E[(xi-（x的拔）)(xj-（x的拔）)]-E(xi-（x的拔）)E(xj-（x的拔）)=E[(xi-（x的拔）)(xj-（x的拔）)]=E(xi)*E(xj)-E(xi+xj)*E(x的拔)+E[(x的拔)^2]=μ^2-2μ^2+σ^2/n +μ^2 =σ^2/n;

他把E((xi+xj)*(x的拔))与E(xi+xj)*E(x的拔)，为了把问题说清楚，不妨不合并因式，还是用两个表达式来说：

-E(xi*(x的拔))-E(xj*(x的拔))= -E(xi)*E(的拔))-E(xj)*E(x的拔)),因为这两项值相等，所以我们只说xi，

他的变换实质是E(xi*(x的拔))= E(xi)*E(x的拔),这一看就清楚了，犯了概念上的错误，因为教材上明明白白说了，要使这个等式成立，xi与(x的拔)必须相互独立，显然(x的拔)与xi是息息相关的，不是相互独立的，此路不通。 现在看第三个：

题目

概率论 统计量题目

设总体的二阶矩阵存在,x1,...,xn为其样本，求xi-（x的拔）与xj-（x的拔)的相关系数？？

有以下解答，1.对么？怎么和答案不一样， 2.方差那怎么得到=(n-1)*σ^2/n？谢谢了

Cov(xi-（x的拔）,xj-（x的拔）)=E[(xi-（x的拔）)(xj-（x的拔）)]=E(xi)*E(xj)-E(xi+xj)*E(x的拔)+E[(x的拔)^2]=μ^2-2μ^2+σ^2/n +μ^2 =σ^2/n;

D(xi-（x的拔))=D(xi-（x的拔))=E[(xi-（x的拔))^2]-[E(xi-（x的拔))]^2=(n-1)*σ^2/n;

相关系数ρ=Cov(xi-（x的拔）,xj-（x的拔）)/[D(xi-（x的拔))*D(xi-（x的拔))]^(1/2)=(σ^2/n)/[(n-1)*σ^2/n]=(n-1)^(-1).

豆兜6Sfs2014-10-25

优质解答

不对.cov（X,Y）=EXY-EXEY

应该这么算：cov（xi-x拔,xj-x拔）=cov（xi,xj）-cov（xi,x拔）-cov（xj,x拔）+cov（x拔,x拔）=0-cov（xi,xi/n)-cov(xj,xj/n)+cov(x,x)=-σ^2/n-σ^2/n+σ^2=(n-2)σ^2/n

D(xi-x拔)=D[(1-1/n)xi-Σ1/nx]=(n-1)^2/n^2σ^2+(n-1)/n^2σ^2=(n-1)σ^2/n

星辰蓝空TA129 2014-10-25

感谢作答的这位朋友用协方差的性质公式让我明白了详细的解答过程，很可惜，在倒数第二步的时候他一个失误把cov（x拔,x拔）写成cov（x,x），要知道D(X)= σ^2, D(x的拔)可是等于σ^2/n啊，完美的过程，错误的结局。 综上： 此题详细解答： 协方差：

cov（xi-x拔,xj-x拔）=cov（xi,xj）-cov（xi,x拔）-cov（xj,x拔）+cov（x拔,x拔）=0-cov（xi,xi/n)-cov(xj,xj/n)+cov(x拔,x拔)=0-cov（xi,xi)/n -cov(xj,xj)/n+cov(x拔,x拔)= 0-D(X)/n - D(X)/n+ D(x拔) =-σ^2/n-σ^2/n+σ^2/n =-σ^2/n

说明：要熟悉协方差的cov（xi,xj）=0是因为相互独立，cov（xi,xi/n)= cov（xi,xi)/n和cov（xi,xi)=D(X), cov(x拔,x拔)= D(x拔)=σ^2/n都是协方差和方差的基本性质。 均方差：

因为D(xi-（x的拔))= D(xj-（x的拔)),故分母为

[D(xi-（x的拔))* D(xi-（x的拔))] ^(1/2)= D(xi-（x的拔))。 而由方差定义：

D(xi-（x的拔))= E((xi-(x的拔)^2)-[E(xi-(x的拔))] ^2, E(xi-(x的拔))=0,所以

D(xi-（x的拔))=E((xi-(x的拔)^2)，由方差定义

E((xi-(x的拔)^2)= E(Σ(xi-(x的拔)^2))/n=(n-1)*σ^2/n。 关于E(Σ(xi-(x的拔)^2))= (n-1)*σ^2教材上有证明过程： Σ(xi-(x的拔)^2=Σ(xi)^2-n*(x的拔)^2, E(xi^2)=(Exi)^2+D(xi)= μ^2+σ^2

E((x的拔)^2)=(E(x的拔))^2+D(x的拔)= μ^2+σ^2/n 所以有：

E(Σ(xi-(x的拔)^2))=n*(μ^2+σ^2)-n*(μ^2+σ^2/n)= (n-1)*σ^2。