高中数学4-6数论练习

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第一节 整数的p进位制及其应用

正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识

给定一个m位的正整数A，其各位上的数字分别记为am?1,am?2,?,a0，则此数可以简记为：A?am?1am?2?a0（其中am?1?0）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的m?1次多项式，即

A?am?1?10m?1?am?2?10m?2???a1?10?a0，其中ai?{0,1,2,?,9},i?1,2,?,m?1且am?1?0，像这种10的多

项式表示的数常常简记为A?(am?1am?2?a0)10。在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作A?am?1am?2?a0，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。

为了具备一般性，我们给出正整数A的p进制表示：

A?am?1?pm?1?am?2?pm?2???a1?p?a0，其中ai?{0,1,2,?,p?1},i?1,2,?,m?1且am?1?0。而m仍然为十进

制数字，简记为A?(am?1am?2?a0)p。

典例分析

例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。 分析与解答

分析：用2作为除数（若化为p进位制就以p作为除数），除2004商1002，余数为0；再用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。所得的各次余数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。 解： 被除数 各次商数0 1 1 3 1 7 1 15 1 各次余数31 1 62 0 125 250 501 1002 1 0 1 0 2004 0 2 除数 选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库

选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 故(2004)10?(11111010100)2，2?104?4?1?210?1?29?1?28?1?27?1?26?1?24?1?22； 同理，有(2004)10?(3274)8，2?104?4?3?83?2?82?7?8?4。

处理与数字有关的问题，通常利用定义建立不定方程来求解。

例2．求满足abc?(a?b?c)3的所有三位数abc。 （1988年上海市竞赛试题） 解：由于100?abc?999，则100?(a?b?c)3?999，从而5?a?b?c?9； 当a?b?c?5时，53?125?(1?2?5)3； 当a?b?c?6时，63?216?(2?1?6)3；

33当a?b?c?7时，7?343?(3?4?3)； 33当a?b?c?8时，8?512?(5?1?2)； 33当a?b?c?9时，9?729?(7?2?9)；

于是所求的三位数只有512。

例3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。

（1979年云南省竞赛题）

解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为x,y,z，则

原数?10x?10y?10z?y ① 颠倒后的新数?10y?10z?10y?x ② 由②－①得7812＝999(y?x)?90(z?y)

即868?111(y?x)?10(z?y)?10(y?x)?10(z?y)?(y?x) ③ 比较③式两端百位、十位、个位数字得y?x?8,z?x?6

由于原四位数的千位数字x不能为0，所以x?1，从而y?x?8?9，又显然百位数字y?9，所以

23232y?9,x?1,z?x?6?7。所以所求的原四位数为1979。

例4．递增数列1,3，4,9，10,12,13，??是由一些正整数组成，它们或是3的幂，或是若个不同的3的幂之和，求该数列的第100项。 （第4届美国数学邀请赛试题） 解：将已知数列写成3的方幂形式：

a1?30,a2?31,a3?31?30,a4?32,a5?32?30,a6?32?31,a7?32?31?30,?

易发现其项数恰好是自然数列对应形式的二进制表示：

即1?2,2?2,3?2?2,4?2,5?2?2,6?2?2,7?2?2?2,?

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01102202210选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 由于100＝(1100100)2?26?25?22 所以原数列的第100项为3?3?3?981。

例5．1987可以在b进制中写成三位数xyz，如果x?y?z?1?9?8?7，试确定所有可能的x,,y,z和b。 （1987年加拿大数学竞赛试题）

解：易知xb2?1987,x?y?z?25，从而x(b2?1)?y(b?1)?162， 即(b?1)[(b?1)x?y]?1962?2?32?109，

2由b?10知b?1?9。由1962?b?1知b?1963?45故9?b?1?45；

2652又因为1962?2?3?109有12个正约数，分别为1,2，3,6，9,18,109,218,327,654,981,1962，所以b?1?18，从而b?19。

又由1987?5?19?9?19?11知x?5,y?9,z?11.

例6．设n是五位数（第一个数码不是零），m是由n取消它的中间一个数码后所成的四位数，试确定一切n使得整数。 （第3届加拿大数学竞赛试题） 解：设n?xyz?xu?10v4?y?103?z?102?u?10?v，其中

2n是mx,y,z,u,v?{0,1,2,?,9}且x?1；

m?xyuv?x?103?y?102?u?10?v；

而k?n是整数，可证9m?n，即9(x?103?y?102?u?10?v)?x?104?y?103?z?102?u?10?v m322即80u?8v?10x?10y?10z，这显然是成立的；

又可证n?11m，即x?10?y?10?z?10?u?10?v＜11(x?10?y?10?u?10?v) 即10z?10x?10y?10u?10v，这显然也是正确的。

于是9m?n?11m，即9?k?11，又因为k是整数，从而k?10；

43232于是n?10m，即x?10?y?10?z?10?u?10?v＝10(x?10?y?10?u?10?v) 22即z?10?90u?9v?9(10?v)，而9|10z但3 10知z?9t(t为正整数）

2

4323223222从而t?10?10u?v，显然t?u?v?0，因而推得n?xyz00?N?103其中10?N?99。

例7．若n?{1,2,?,100}且n是其各位数字和的倍数，这样的n有多少个？

（2004年南昌竞赛试题）

解：（1）若n为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种； （2）若n为100时，也适合；

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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 （3）若n为二位数时，不妨设n?ab，则n?10a?b，由题意得(a?b)|(10?b)

10a?b9a?Z即?Z也就是(a?b)|9a；

a?ba?b若b?0显然适合，此种情况共有9种；

即

若b?0，则由a?b?a，故3|(a?b)

若(a?b)|9，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；

若（a?b）9，则a?b?6或a?b?12，这样的数共有24,42,48,84共4个； 综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。

例8．如果一个正整数n在三进制下表示的各数字之和可以被3整除，那么我们称n为“好的”，则前2005个“好的”正整数之和是多少？（2005年中国奥林匹克协作体夏令营试题） 解：首先考虑“好的”非负整数，考察如下两个引理：

引理1.在3个连续非负整数3n,3n?1,3n?2（n是非负整数）中，有且仅有1个是“好的”。

证明：在这三个非负整数的三进制表示中，0,1，2各在最后一位出现一次，其作各位数字相同，于是三个数各位数字之和是三个连续的正整数，其中有且仅有一个能被3整除（即“好的”），引理1得证。 引理2.在9个连续非负整数9n,9n?1,?9n?8（n是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。把这3个“好的”非负整数化成三进制，0,1，2恰好在这三个三进制数的最后一位各出现一次。

证明：由引理1不难得知在9个连续非负整数9n,9n?1,?9n?8（n是非负整数）中，有且仅有3个是“好的”。 另一方面，在这三个“好的”非负整数的三进制表示中，最高位与倒数第三位完全相同，倒数第二位分别取0,1，2。若它使它们成为“好的”非负整数，则最后一位不相同，引理2得证。

将所有“好的”非负整数按从小到大的顺序排成一列，设第2004个“好的”非负整数为m，根据引理1，得2003?3?m?2004?3，即6009?m?6012。

设前m个“好的”正整数之和为Sm，由于前2003个“好的”正整数之和等于前2004个“好的”非负整数之和。因此； S2003?(0?1?2??2003)?3?2004?6023022又因为(6013)10?(22020201)3和(6015)10?(22020210)3都是“好的”正整数。因此前2005年“好的”正整数之和是：

S2005?S2003?601?6301?56035。0

第二节 整数的性质及其应用（1）

基础知识

整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等

几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质

在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义：设a,b是给定的数，b?0，若存在整数c，使得a?bc则称b整除a，记作b|a，并称b是a的一个约数(因

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