2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示学案新人教A版选

3.1.5 空间向量运算的坐标表示

学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.

知识点一 空间向量的坐标运算

思考 设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么m＋n，m－n，λm，m·n如何运算？

答案 m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋

y1y2.

梳理 空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量运算 加法 减法 数乘 数量积

知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 向量表示 坐标表示 (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a＋b a－b λa a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 a∥b a⊥b 模 夹角

a＝λb(λ∈R) a·b＝0 |a|＝a·a a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |a|＝a1＋a2＋a3 cos〈a，b〉＝222a·bcos〈a，b〉＝ |a||b|a1b1＋a2b2＋a3b3 22222a21＋a2＋a3b1＋b2＋b3

类型一 空间向量的坐标运算

例1 已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b等于( ) A.(2，－4，2) C.(－2，0，－2) 答案 A

解析 依题意，得b＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2). 反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题

首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标

首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.

跟踪训练1 若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 答案 2

解析 据题意，有c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)， 故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示

→→

例2 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC. →

(1)若|c|＝3，c∥BC.求c；

(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. →→

解 (1)因为BC＝(－2，－1，2)，且c∥BC， →

所以设c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝?－2λ?＋?－λ?＋?2λ?＝3|λ|＝3， 解得λ＝±1.即c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2).

2

2

2

B.(－2，4，－2) D.(2，1，－3)

→→

(2)因为a＝AB＝(1，1，0)，b＝AC＝(－1，0，2)， 所以ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又因为(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k＋k－10＝0. 5

解得k＝2或k＝－.

2引申探究

若将本例(2)中改为“若ka－b与ka＋2b互相垂直”，求k的值. 解 由题意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k，4)， ∵(ka－b)⊥(ka＋2b)， ∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0，

52

即(k＋1)(k－2)＋k－8＝0，解得k＝－2或k＝，

25

故所求k的值为－2或.

2

反思与感悟 (1)平行与垂直的判断

①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.

②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.

(2)平行与垂直的应用

①适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程. ②选择坐标形式，以达到简化运算的目的.

跟踪训练2 在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点. 证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD.

证明 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，由1??1??1???11?中点性质得E?1，1，?，F?1，，0?，G?，1，0?，H?，，1?.

2??2??2???22?

2

1?→?111?→→?1

(1)AB1＝(1，0，1)，GE＝?，0， ?， EH＝?－，－，?，

2?22??2?21→→→→?1?∵AB1＝2GE，AB1·EH＝1×?－?＋0＋1×＝0，

2?2?→→→→

∴AB1∥GE，AB1⊥EH.即AB1∥GE，AB1⊥EH. 1?→?1?→?(2)∵A1G＝?，1，－1?，DF＝?1，－，0?， 2??2??→

DE＝?1，0，?，

2

??

1?

?

1→→11→→1

∴A1G·DF＝－＋0＝0，A1G·DE＝＋0－＝0，

2222∴A1G⊥DF，A1G⊥DE.

又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD. 类型三 空间向量的夹角与长度的计算

例3 棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. (1)求证：EF⊥CF；

→→

(2)求EF与CG所成角的余弦值； (3)求CE的长.

1??(1)证明 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，E?0，0，?，C(0，1，0)， 2??1??11??F?，，0?，G?1，1，?.

?22??2?

1?→?11?→?1?→?1?→?11

所以EF＝?，，－?，CF＝?，－，0?，CG ＝?1，0，?，CE＝?0，－1，?.

2?2?2?2??22?2??→→111?1??1?→→

因为EF·CF＝×＋×?－?＋?－?×0＝0，所以EF⊥CF，即EF⊥CF.

222?2??2?1111→→1

(2)解 因为EF·CG＝×1＋×0＋(－)×＝，

22224→

|EF|＝→|CG|＝

?1?2＋?1?2＋?－1?2＝3， ?2??2??2?2??????

5?1?222

1＋0＋??＝，

?2?2