北京市朝阳区2020届高三下学期学业水平等级性考试(一模)数学试卷(含答案)

数学

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。 （1）已知集合A??1,3,5?，B??x?Z|(x?1)(x?4)?0?，则AUB?

（A）?3?

（B）?1,3?

（C）?1,2,3,5?

（D）?1,2,3,4,5?

（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,??)上单调递增的是

32|x|（A）y?x （B）y??x?1 （C）y?log2x （D）y?2

（3）在等比数列{an}中，a1?1，a4??8，则{an}的前项和为

（A）?21 （B） （C） 31 （D）63

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（4）如图，在△ABC中，点，满足BC?2BD，若DE?xAB?yAC(x,y?R)，CA?3CE．则x?y?

（第4题图）

2（5）已知抛物线：y?2px(p?0)的焦点为，准线为l，点是抛物线上一点，AD?l于.

若AF?4，?DAF?60?，则抛物线的方程为

（A）y2?8x （B） y2?4x （C）y2?2x （D）y2?x （6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师

“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为

121（B）?

31（C）

21（D）

3（A）?

AEBDC2239 （B） （C） （D） 35 510（7）在△ABC中，AB?BC，?ABC?120?．若以，为焦点的双曲线经过点，则该双曲

（A） 线的离心率为 （A）

5 2 （B）

3?17 （C） （D）3 22（8）已知函数f(x)=3sin(ωx-φ)(ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为，则“??是“f?x?的图象关于直线x?（A）充分而不必要条件

?”6?对称”的 3（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

2?a?x?2ax?2a,x?1,（9）已知函数f(x)??若关于的不等式f(x)?在上恒成立，则实数

2x?1.??2x?alnx,的取值范围为

32（10）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，分别是棱AB，BB1的中点，点在对角线

CA1上运动．当△PMN的面积取得最小值时，点的位置是

（A）(??,2e] （B）[0,] （C）[0,2] （D）[0,2e]

（A）线段CA1的三等分点，且靠近点A1 （B）线段CA1的中点

（C）线段CA1的三等分点，且靠近点 （D）线段CA1的四等分点，且靠近点

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）若复数z?A1D1B1C1NAMBPDC（第10题图）

2，则|z|?________． 1?i（12）已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为________，它的体积

为 ．

3

2 2 2 2 侧（左）视图 正（主）视图

（第12题图）

俯视图

（13）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇

号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05．

为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动． （14）已知函数f(x)?xcos?x．数列{an}满足an?f(n)?f(n?1)2（n?N*），则数列{an}的前100项和是________．

（15）数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C:(x2?y2)3?4x2y2 被称为

“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论：

① 曲线关于直线y?x对称；

② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③ 存在一个以原点为中心、边长为2的正方形，

（第15题图）

使得曲线在此正方形区域内（含边界）． 其中，正确结论的序号是________．

注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其

他得3分。

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题14分）

在△ABC中，bsinA=acos(B-（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若c=5， ．求.

从①b=7， ②C=?)． 6?这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

（17）（本小题14分）

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1^平面ABC，四边形ACC1A1是正方形，点，分别是棱BC，BB1的中点，AB=4，AA1=2，BC=25． （Ⅰ）求证：AB^CC1；

BEB1DAFA1CC1（Ⅱ）求二面角D-AC1-C的余弦值；

（Ⅲ）若点在棱B1C1上，且B1C1=4B1F，判断平面AC1D

与平面A1EF是否平行，并说明理由．

（18）（本小题14分）

某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：

非患者的检测结果 人数 患者的检测结果 人数

阳性 76 阳性

99 阴性 阴性

（Ⅰ）从

该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率； （Ⅱ）从该地区患者中随机选取人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以

表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求的分布列和数学期望； （Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检

测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由.

（19）（本小题14分）

x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，圆O:x2?y2?r2（为坐标原点）.过点(0,b)且

ab8斜率为的直线与圆交于点(1,2)，与椭圆的另一个交点的横坐标为?.

5（Ⅰ）求椭圆的方程和圆的方程；

（Ⅱ）过圆上的动点作两条互相垂直的直线l1，l2，若直线l1的斜率为k(k?0)且l1与椭

圆相切，试判断直线l2与椭圆的位置关系，并说明理由.

（20）（本小题15分）

已知函数f?x??ex?x?1x?1．

（Ⅰ）求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；