趣味数学题 - 图文

1、如图所示, △EFC为等边三角形, E、F在正方形ABCD的边上. 试证明, 绿色部分面积等于红色面积与蓝色面积之和.

【分析】：?BCF的面积=?CDE的面积，且AE=AF,设BC=1,AF=x，则(1?x)2?12?(2x)2，

12x?1?x，左边就是?AEF的面积，右边就是?BCF的面积+?CDE的面积 22、三只外观完全一样的盒子, 一只装有两枚金币, 一只装有两枚银币, 一只装有一金币一银币. 现随机打开一盒, 再闭眼随机摸出一枚钱币, 结果为金. 问打开的是装了两枚金币的那只盒子的概率是多少?

3、将整数 1至 8填入如图所示的八个方格中, 令差为 1的两个数不相邻 (“不相邻”指所在方格既无公共边, 亦无公共点), 有几种排法?

4、边长为 1的正方形 ABCD内, 动点 P从 AB上一点 E出发, 沿直线向 BC上一点 F运动， 每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角. 问在何种条件下, P才能返回出发点 E?

5、观察 (2?1)的正整数幂:

(2?1)2=9?8 (2?1)3=50?49 是否 (2?1)的所有正整数幂都可以表示为两个相邻正整数的平方根之差？

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6、看看下面的两幅图. 右边多出的两个红格子是怎么冒出来的呢?

7、中世纪的欧洲, 两名少女被指控“勾结恶魔”. 她们将被关入不同的密室内, 每分钟抛出一枚硬币, 并猜测另一人所抛的硬币何面朝上. 60次猜测中, 只要有一次两人皆猜对, 便会作为“勾结恶魔”的铁证, 将她们送上火刑架.所幸, 少女们冰雪聪明, 很快就想出了逃出生天的方法. 你能想到她们采用的策略吗?

8、(i) 甲的表快了 10分钟但他以为表慢了 5分钟; (ii) 乙的表慢了 5分钟但他以为快了 10分钟; (iii) 丙的表快了 5分钟但他以为快了 3分钟; (iv) 丁的表慢了 10分钟但他以为慢了 5分钟.

用他们的表, 每一人都相信恰好能赶上下午 6时的火车. 谁误了火车?

9、一正多边形内接于一单位圆. 连结多边形各端点, 形成的所有不等长的弦如下图黑线所示. 请问, 所有这些弦的平方和 S, 与多边形的边数 N存在何种关系?

10、科学计算器的除法键坏了！ 我该怎样用 sin,cos,tan,sin?1,cos?1,tan?1来计算

1呢? x2

11、黑板上有 2005个数, 分别是 1,1/2,1/3,1/4,…,1/2005. 每次操作允许从黑板上擦去任意 a,b两数, 写上新数 ab+a+b, 经过 2004次操作后, 剩下一个数, 求这个数.

12、某国所有的道路都是单行道, 每两座城市之间有且仅有一条道路相连. 问该国是否存在这么一座城市, 从国内任意其他城市出发, 最多只经过另外一座城市中转即可抵达它？

13、(1) 2012可否写成两个整数的平方差?

(2) 本世纪的所有年份数字, 是否都可以写成两个整数的平方差?

14、已知正方形 ABCD, 只用一根直尺, 能否作出面积为 ABCD两倍的正方形? 注: 直尺只能用来作连结两点的直线, 尺上面没有刻度, 也不能做标记.

15、五名科学家合作一项机密研究, 研究材料被锁在保险箱里. 当且仅当超过一半成员在场时, 保险箱才能被打开. 为此, 保险箱被上了多把不同的锁, 其钥匙被分配给每名科学家. (同一把锁可以有多把钥匙, 一把钥匙只能开一把锁) 问至少需要几把锁? 每人至少要分几把钥匙?

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16、甲、乙、丙、丁和戊玩一种游戏, 其中每个人充当狼或羊. 狼说的总是假的而羊说的总是真的. 甲说乙是羊; 丙说丁是狼; 戊说甲不是狼; 乙说丙不是羊;

丁说戊和甲是不同的动物. 请问有几只狼?

17、很多整数都能用由三个 2组成的算式表达, 譬如:

2

4=22?2,231=C22, 26=(2+2)!+2

问最小的不能用三个 2表达的正整数是什么?

注: 为明确起见, 本题可用的运算仅限加、减、乘、除、乘方、开根、阶乘、对数、排列数和组合数.

18、一列长 200m的火车沿长直轨道匀速前进. 车厢里, 一只闲的发慌的蜜蜂自车尾起飞, 飞向车头, 抵达后立即飞回车尾 (车内视角全程匀速). 当蜜蜂回到车尾时, 火车恰好行驶了等同于自身长度的距离. 以地面为参照物, 这只蜜蜂总共的飞行路程是多少？

19、“若 x, y均为无理数, 则 xy一定为无理数”是真命题吗? 请作出证明.

20、某相亲节目, 男嘉宾要从n名女嘉宾中挑选一位. 女嘉宾们依次登场, 每次面见一人. 若决定不予选择, 之后便不可再反悔. 一旦选定, 无论还剩几人未登场, 均终止选

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