第二讲 绝对值（分类讨论 整体思想）

七年级数学

第二讲 绝对值（分类讨论 整体思想）

绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即

绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．

例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜； (2)｜ab｜=｜a｜｜b｜ (3)｜a-b｜=｜b-a｜； (4)若｜a｜=b，则a=b； (5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b； (6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．

例2 已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．

例3 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．

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七年级数学

例5若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，

试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．

例7 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．

例8 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．

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七年级数学

例9 设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．

例10 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数值．

练习

1．x是什么实数时，下列等式成立：

(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．

2．有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|

3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．

4．已知有理数a，b，c满足

a c 0 b |a||b||c||abc|

???1，求的值 abcabc

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5．若a、b、c为整数，且a?b19?c?a99?1，求c?a?a?b?b?c的值．

6．设a?b?c?0，abc?0，则

b?cc?aa?b的值是（ ）． ??abcA．-3 B．1 C．3或-1 D．-3或1

7．有理数a、b、c均不为零，且a?b?c?0，设x?ab?c?bc?a?ca?b，

试求代数式x19?99x?2002的值．

8．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．

9．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．

10、（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表

示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？

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