江苏13市2019年中考数学试题分类解析汇编专题11：圆

BPODCAl

【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。 ∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。 ∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。 ∴

PCPA，即PA2=PC·PD。 ?APAB525?4?10。 2∵PC=x=，AB=4，∴PA?∴在Rt△APB中，由勾股定理得：PB?16?10?6。 （2）过O作OE⊥PD，垂足为E。

∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。 在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。 ∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。

∴PD?PC=2?x?2???4?x?=?2x2+12x?16=?2?x?3?+2。 ∵2

∴当x=3时，PD?PC有最大值，最大值是2。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。

2（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再

由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。

6. （2019江苏宿迁10分）如图，在四边形ABCD中，∠DAE=∠ABC= 90°，CD与以AB为直径的半圆相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G。设AD=a，BC =b。 (1) 求CD的长度（用a，b表示）； (2) 求EG的长度（用a，b表示）；

(3) 试判断EG与FG是否相等，并说明理由。

【答案】解：（1）∵∠DAE=∠ABC= 90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB。 又∵AB为⊙O的直径，∴DA、CB为⊙O的切线。 又∵CD是⊙O的切线，AD=a，BC =b，

∴DE= AD=a，CE= BC =b（切线长定理）。∴CD= DE＋CE= a＋b。

（2）∵EF⊥AB，CB⊥AB，∴EF∥CB。∴△DEG∽△DCB。 ∴

EGaabEGDE，即。∴EG?。 ??ba+ba+bCBDC（3）相等。理由如下：

∵EF⊥AB，CB⊥AB，DA⊥AB，∴DA∥EF∥CB。 ∴

∴GF?BGCEbGFBGGFb，且△BGF∽△BDA。∴，即。????BDCDa+bDABDaa+bab。 a+b∴EG=FG。

【考点】切线的判定和性质，切线长定理，平行的判定和性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由已知可得DA、CB和CD都要为⊙O的切线，根据切线长定理即可得出结果。

（2）由EF⊥AB，CB⊥AB 可得EF∥CB，从而根据相似三角形的判定和性质可求得EG的长度。

（3）由DA∥EF∥CB，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质可求得FG的长度，与EG的长度比较即可得出结论。

7. （2019江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O

相交于点

P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=25，求⊙O的半径和线段PB的长；

（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范

围．

【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：

连接OB。

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。 ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。 ∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。 ∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。 ∴AB=AC。

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，

设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。

又∵PC=25，

∴AB?OA?OB?5?r，AC?PC?PA?2 5 由（1）AB=AC得52?r2?2 5 ∴AB=AC=4。

∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。 ∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴

得PB=22222222??22?（5?r） 。

??22?（5?r），解得：r=3。

CPAP252，即，解??6BPPDBP65。 5 （3）作线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，

则OE=

11122AC=AB=5?r。 2221225?r≤r， 2又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=∴r≥5。

又∵圆O与直线l相离，∴r＜5。

∴⊙O的半径r的取值范围为5≤r＜5．

【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，

∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。

（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5－r，根据AB=AC推出

252?r2?2 5 ?（5?r），求出r，证△DPB∽△CPA，得出

??2CPAP ，代入求出PB即可。 ?PDBP（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作

OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案。

8. （2019江苏无锡10分）如图，菱形ABCD的边长为2cm，∠DAB=60°．点P从A点出发，以cm/s的速度，沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从A点出发，以1cm/s