常用小学数学思想方法刍议

常用小学数学思想方法刍议

万盛区青山中心校 张后松 杨先碧

(重庆市万盛区青山中心校,邮编:400800,联系电话:48334006)

一、引言

针对小学生的知识能力水平低、以形象思维为主、“再发现”很困难三大特点[1]，结合教学实践，介绍以下几种常用小学数学解题的思想方法：化归法（归一法）、假设法、作图解题法、逆推法、列举筛选法。

二、具体方法介绍 （一）化归法（归一法）：在小学数学解题过程中，将原有的问题加以变更，使之与该数学问题的解决实质相同，从而求解。

eg1.求自然数1~100中，不能被3整除的数的和。

[思路导航]在该题中，不能被3整除的数明显比能被3整除的数多。为此，我们可以先求出能被3整除的数的和，再用1~100的和与之求差，从而得出最终结果。

（1） 求1~100的和

∵1＋2＋3＋4＋??＋99＋100＋100＋99＋98＋97＋??＋2＋1

＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋（4＋97）＋??＋（99＋2）＋（100＋1）（100个101相加，是所求数列和的2倍，故需除以2）

∴ 1＋2＋3＋4＋??＋99＋100 ＝（1＋100）×100÷2 ＝5050[2]

（2） 求能被3整除的数的和 3＋6＋9＋12＋??＋96＋99 ＝（3＋99）×33÷2 ＝2013

（3） 求最终结果 5050－2013＝3037

eg2.街心花园中一个正方形的花坛四周有1米宽的水泥路，如果水泥路的总面积是12平方米，中间花坛的面积是多少平方米？

[思路导航]把水泥路分成四个同样大的长方形（如右图）。因此，一个长方形的面积是12÷4＝3（平方米）。因为水泥路宽1米，所以小长方形的长是3÷1＝3（米），从图中可以看出正方形花坛的边长是小长方形长与宽的差，所以，小正方形的边长是3－1＝2（米），中间花坛的面积是2×2＝4（平方米）。

（12÷4÷1－1）×（12÷4÷1－1）＝4（平方米） 答：中间花坛的面积是4平方米。[2]

（二）假设法：假设法是一种常用的解题方法。“假设法”就是根据题目中的已知条件或结论作出某种假设，然后按照已知条件进行推算，根据数量上所出现的矛盾作适当调整，从而找出正确的答案。

运用假设法的思路解应用题时，先根据题意假设未知的两个量是同一种量，或者假设要求的两个未知量相等，其次，要根据所作的假设，注意到数量关系发生了什么变化并作出适当的调整。[1][3]

1

2 eg3.今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只，问鸡、兔各有多少只？

[思路导航]鸡、兔同笼这类问题往往用假设法来解答，即设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与实际情况矛盾，根据数量上出现的这类矛盾，再适当调整，从而找出正确答案。

（1）假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35＝70（只），与实际相比，脚减少了94－70＝24（只）。少的原因是把每一只兔当作一只鸡时，要少4－2＝2只脚。所以，兔有24÷2＝12（只）。鸡有35－12＝23（只）。

（94－70）÷（4－2）＝12（只） 35－12＝23（只）

答：兔有12只，鸡有23只。[2]

（2）假设全是兔，那么相应的脚的总数应是4×35＝140（只），与实际相比，脚增加了140－94＝46（只）。多的原因是把每一只鸡当作一只兔时，要多4－2＝2只脚。所以，鸡有46÷2＝23（只）。兔有35－23＝12（只）。

（4×35－94）÷（4－2）＝23（只） 35－23＝12（只）

答：鸡有23只，兔有12只。

eg4.一批钢材用小车拉要45辆，用大车要36辆，已知大车比小车每次多拉4吨，问这批钢材共有多少吨？

[思路导航]求出大车和小车各装多少吨，是解此题的关键。可以假设全用小车拉或全用大车拉，这样必然会产生矛盾，根据数量上出现的这类矛盾，再作适当调整，从而找出符合要求的正确答案。

（1）假设全用36辆小车拉，则剩下4×36＝144（吨），还需要用45－36＝9（辆）小车来拉，因此小车每次可以装144÷（45－36）＝16（吨），所以这批钢材共有16×45＝720（吨）。

45×[4×36÷（45－36）] ＝720（吨） 答：这批钢材共有720吨。[2]

（2）假设全用45辆大车拉，则多拉了4×45＝180（吨），这就多拉了45－36＝9（次），所以大车每次装180÷（45－36）＝20（吨），所以这批钢材共有20×36＝720（吨）。

4×45÷（45－36）×36＝720（吨） 答：这批钢材共有720吨。

（3）假设这批钢材为单位“1”，则 4÷（1/36－1/45）＝720（吨） 答：这批钢材共有720吨。

（在遇到这类涉及工程问题的应用题时，我们可以把它们的总和假设为单位“1”，无需知道具体的数据，同样可以求解。）[4]

（三）作图解题法：用作图的方法把应用题的数量关系表示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起到化难为易的作用。

1、线段图：在解答已知一个数或者几个数的和差、倍差及相互之间的关系，求其中一个数或者几倍问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式。

2

eg5.甲、乙两两辆汽车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米。两车在距中点32千米处相遇。东、西两地相距多少千米？[3] 32千米 32千米 东 西 中点 甲车行的 乙车行的 [思路导航]两车相距中点32千米处相遇，由于甲车的速度大于乙车的速度，所以相遇时，甲车应行了全程的一半多32千米，乙车行了全程的一半少32千米，因此，两车相遇时，甲车比乙车多行了32×2＝64（千米）。两车同时出发，又相遇了，两车所行的时间是一样的，为什么甲车会比乙车多行64千米呢？因为甲车每小时比乙车多行56－48＝8（千米）。64÷8＝8所以两车各行了8小时，求东、西的路程只要用（56＋48）×8即可。

32×2÷（56－48）＝8（小时） （56＋48）×8＝832（千米） 答：东、西两地相距832千米。

2、表解法：利用图表使应用题简化。

eg6.甲、乙、丙、丁四个人同时参加数学竞赛。赛后，甲说：“丙是第一名，我是第三名。”乙说：“我是第一名，丁是第四名。丙说：“丁是第二名，我是第三名。”丁没有说话。成绩揭晓时，大家发现甲乙丙三个人各说对了一半。你能说出他们的名次吗？[2]

[思路导航]推理时，必须以“他们都只说对了一半”为前提。为了帮助大家分析，我们可以借助图表分析。 甲 乙 丙 丁 第一名 ╳ 第二名 ╳ 第三名 ╳ 第四名 √ √ √ （1）假如甲说丙第一名是对的，那么甲说“我第三名”是错的，乙说“我第一名”也是错的，而乙说的“丁是第四名”是对的。

（2）由丁是第四名推出丙说丁是第二名是错的，根据条件，丙说“我第三名”是对的。

（3）这样，丙既是第一名，又是第三名，自然是错的。 重新推理： 甲 乙 丙 丁 第一名 第二名 第三名 第四名 √ ╳ √ ╳ ╳ √ （1）假如甲说的“我是第二名”是对的，那么“丙是第一名”错的，由丙说的“我是第三名”是错的，“丁是第二名”是对的。

（2）由“丁第二名”推出乙说“丁是第四名”是错的，从而乙说“我是第一名”是对的。

（3）从表中我们可以看出：乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。 所以，乙是第一名，丁是第二名，甲是第三名，丙是第四名。

3

3、韦恩图：利用韦恩图解决容斥问题。

eg7.在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？[2] [思路导航]从1到100的自然数中，减去5或6的倍数的个数（如右图的阴影部分所示）。从1到100的自然数中，5的倍数有100÷5＝20（个）。6的倍数有16个（100÷6＝16??6）；其中既是5的倍数又是6的倍数（即6和5的公倍数）的数有3个（100÷30＝3??10）。因此，是6或5 的倍数的数有16＋20－3＝33（个），由此易求问题。

100 ÷ 5 ＝20

100 ÷ 6 ＝ 16??4 100 ÷30 ＝ 3??10

6和5的100 －（16 ＋20 －3 ）＝67（个）

6的倍数 5的倍数 倍数 答：既不是5的倍数也不是6的倍数

的数有67个。 ？

（四）列举筛选法：有些题目，因其所求问题的答案有多种，直接列式解答比较困难，在这种情况下，我们不妨采用一一列举的方法解决。

eg8.从南通到上海有两条路可走，从上海到南京有三条路可走。王叔叔从南通经过上海到南京去，有几种方法？[2]

[思路导航]为了帮助理解，先画一个线路示意图。并用①、②、③、④、⑤表示其中的5条路。

① 南通 ② 上海 ③ ④ ⑤ 南京 我们把王叔叔的各种走法一一列举如下：

第一种走法：南通 ① 上海 ③ 南京 第二种走法：南通 ② 上海 ③ 南京 第三种走法：南通 ① 上海 ④ 南京 第四种走法：南通 ② 上海 ④ 南京 第五种走法：南通 ① 上海 ⑤ 南京 第六种走法：南通 ② 上海 ⑤ 南京

根据以上列举可以发现，从南通经过①到上海再到南京有3种方法，从南通经过②到上海再到南京也有3种方法，共有两个3种方法，即3×2＝6（种）。

答：共有6种方法。

（五）逆推法：在解数学题时，从已知条件到未知条件的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。这其中，有的问题需要由最后的条件推出前面的条件，即逆推法。

eg9.有甲、乙、丙三个油桶，先将甲桶的油倒入乙、丙，使它们各增加1倍。再将乙桶的油倒入甲、丙，使它们各增加1倍。再将丙桶的油倒入甲、乙，使它们各增加1倍，此时各桶的油均为16千克。问甲、乙、丙各桶原来有油多少千克？

[思路导航]如果我们在解此题时按照习惯从前向后是不行的，所以，我们可以采取从后向前的逆推方法。

4

最后有油 丙倒前 乙倒前 甲倒前 甲 16 8 4 26 乙 16 8 （8＋4＋16）＝28 14 丙 16 （16＋8＋8）＝32 16 8 所以，甲、乙、丙各桶原来分别有油26千克，14千克，8千克。

三、结束语

上述介绍的几种方法是结合教学实践的个人经验总结，也许在小学数学教与学的过程中，还有许许多多更好的解题方法，我希望将我个人的见解与广大的教育教学工作者共同探讨，力求获取更多更好的小学数学解题的思想方法。

参考文献

[1]汪绳祖.小学数学教育学[M].北京：高等教育出版社，1997，11：4~8.

[2]蒋 顺，李济元.奥林匹克小学数学举一反三（四年级）[M].西安：陕西人民教育出版社，2004，4：41，76，154，154~155，156，169~170，188，57~58.

[3]蒋 顺，李济元.奥林匹克小学数学举一反三（五年级）[M].西安：陕西人民教育出版社，2004，4：127，165~166.

[4]盛伟华.让数学课堂走向“生本”——从几个数学课例谈起[J].师道，2005，（1）：27.

5