2018-2019学年福建省厦门市初二年期末质量检测数学试题

解：以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得

该直角三角形的另两条边的长都是正整数.

理由如下：

对于一组数：m2－1，2m，m2＋1（m≥2，且m为整数）． 7分 因为(m2－1) 2＋ (2m) 2＝m4＋2m2＋1＝(m2＋1) 2

所以若一个三角形三边长分别为m2－1，2m，m2＋1（m≥2，且m为整数），则该三

角形为直角三角形. 因为当m≥2，且m为整数时，2m表示任意一个大于2的偶数，m2－1，m2＋1均为正整数，

所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数. ··· 9分

23.（本题满分10分）

（1）（本小题满分3分）

解：建议不合理. ··················· 1分 理由如下：

根据题意可知，10个司机中至少要留出3人做为机动司机，所以最多只能租7辆车.

··· 3分

（2）（本小题满分7分）

5

解：设共租m（m为正整数）辆车，依题意得5≤m≤8，即6≤m≤8.

7

由（1）得，m≤7. 所以6≤m≤7.

即总租车数为6辆或7辆. ················ 5分

设车队租的5座车有x（x为非负整数）辆，一辆5座车的日租金为a元，车队日租金为y元， ① 当总租车数为6辆时，

y1＝ax＋（a＋300）（6－x）＝－300x＋6a＋1800. ···· 6分

由x≤6，且5x＋7（6－x）≥40，可得x≤1. 又因为x为非负整数，

所以x＝1.此时y1＝6a＋1500. ·············· 7分 此时的租车方案是：租1辆5座越野车，5辆7座越野车. ② 当总租车数为7辆时，

y2＝ax＋（a＋300）（7－x）＝－300x＋7a＋2100. ···· 8分

9

由x≤7，且5x＋7（7－x）≥40，可得x≤.

2

又因为x为非负整数，所以x≤4.

因为－300＜0，

所以y随x的增大而减小，

所以当x＝4时，y2有最小值7a＋900.··········· 9分

此时的租车方案是：租4辆5座越野车，3辆7座越野车.

当y1＝y2即a＝600时，日租金最少的方案是：租1辆5座越野车，5辆7座越野车，或租4辆5座越野车，3辆7座越野车；

当y1＜y2即a＞600时，日租金最少的方案是：租1辆5座越野车，5辆7座越野车； 当y1＞y2即a＜600时，日租金最少的方案是：租4辆5座越野车，3辆7座越野车.

10分

24.（本题满分11分）

A（1）（本小题满分5分）

证明： 如图5，平行四边形ABCD中，

∵ AD∥BC， ·············· 1分 ∴ ∠CBE＝∠AEB． ··········· 2分

B ∵ BE平分∠ABC， 图5 ∴ ∠CBE＝∠ABE， ··········· 3分 ∴ ∠AEB＝∠ABE

∴ AB＝AE． ·················· 4分 又∵ AD＝2AE， ∴ AD＝2AB． ·················· 5分 （2）（本小题满分6分）

1＋3

解：存在.当AH⊥DF且DE＝时，四边形ABFH是菱形． · 7分

2

EA 理由如下：

如图6，过点A作AH⊥DF于H，

在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°， 在Rt△AHD中，∠AHD＝90°，∠ADH＝60°

B∴ ∠DAH＝30°

1

∴ DH＝AD＝1，

2FEDCDHC AH＝22－12＝3. ················ 8分

∴ 在Rt△DEF中，∠EFD＝30°， ∴ DF＝2DE＝1＋3，

∴ FH＝DF－DH＝1＋3－1＝3， ··········· 9分 ∴ FH＝AB．

又∵ 在平行四边形ABCD中，AB∥DC，点F在DC的延长线上， ∴ FH∥AB，

∴ 四边形ABFH是平行四边形． ············ 10分 ∵ AH＝AB，

∴ 四边形ABFH是菱形． ··············· 11分 25.（本题满分14分）

（1）（本小题满分3分）

解：把C（a，2a－3）代入y＝x，得

a＝2a－3， ··················· 1分

解得a＝3． ··················· 2分 所以点C的坐标是（3，3）． ············ 3分

（2）（本小题满分4分）

解：点C在直线y＝x(x＞0)上，不妨设点C的坐标为（t，t）．

如图7，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，

∴ 在Rt△OCE中，∠OEC＝90°，OE＝CE＝t，

∴ ∠EOC＝∠ECO ＝45°． ············ 4分 又∵ ∠BCO＝105°，

∴ ∠BCE＝∠BCO－∠ECO ＝60°， ∴ 在Rt△BEC中，∠EBC ＝30°，

图6

yBEOCx图7

∴ BC＝2CE＝2t， ∴ BE＝BC2－CE2 ＝3t． ············ 5分 又∵ BE＝BO－OE ，且点B(0，3＋3)，

∴ 3t＝3＋3－t， ·············· 6分 （3＋1）t＝3（3＋1）

解得t＝3．

∴ BC＝23． ················· 7分

（3）（本小题满分7分） y 解：∵A(m，n) ，B(0，b) ，且0＜m＜n＜b，

EB ∴ 点A在直线y＝x(x＞0)上方．

A ∵ AM⊥x轴于点M，

D 且AM交直线y＝x(x＞0)于点D， A(m，n) ， CF ∴ 点D的坐标为(m，m)，AM＝n． OxM ∴ 在Rt△OMD中，∠OMD＝90°，OM＝DM＝m，

图8 ∴ ∠ODM＝45°，

∵ AM＝n，AD＝2，

∴ DM＝AM－AD，即 m＝n－2． ········· 8分 如图8，当点C在点D左侧时，

过点B，点C分别作BE⊥AM，CF⊥AM，垂足分别为点E，点F，

∴ E(m，b)，BE＝m，∠BEA＝∠AFC＝90°． ∵ BA⊥CA，

∴ ∠BAC＝90°，∠BAE＋∠CAF＝90°． ∵ Rt△BEA中，∠BAE＋∠ABE＝90°，

∴ ∠CAF＝∠ABE． ··············· 9分 又∵ BA＝CA，

∴ △ABE≌△CAF． ··············· 10分 ∴ BE＝AF＝m． ∵ DF＝AF－AD，且BE＝AF，

∴ DF＝BE－AD＝m－2．

y 在Rt△DCF中，∠CDF＝∠DCF ＝45°， ∴ DF＝CF＝m－2， BE ∴ CD＝DF2＋CF2＝2 DF ＝2 ( m－2) ···· 11分 FCA ＝2m－2

D ＝2(n－2)－2

xOM ＝2n－4． ········· 12分 ∵ 1≤CD≤2，即1≤2n－4≤2，

图9 5

∴ 2≤n≤32． ··············· 13分 2

如图9，当点C在点D右侧时，

同理可求，DF＝m＋2，CD＝2m＋2， 由1≤CD≤2，

1

求得－2≤m≤0，不符合题意．

2

5

综上，2≤n≤32． ·············· 14分

2