第二章 测度论的知识要点与复习自测

5*、定义1：设f:E?[0,??)，其中E?R为可测集，记

1Gp?f,E???(x,y)x?E,0?y?f(x)??R2，

则称Gp?f,E?为非负实函数f在E上的下方图形（相当于数学分析中定义在[a,b]上的一元非负函数所构成的曲边梯形）；

1

定义2：设E?R为可测集，且E??Ei，其中Ei（i?1,2,?,m）都是R中的可

i?11m测集，且互不相交（E??Ei称为可测集E的一个有限不交的可测分解），现定义

i?1mf:E?[0,??)如下：

?c1,x?E1?c,x?Em?22f(x)???c1?E1(x)?c2?E2(x)???cm?Em(x)??ci?Ei(x)，x?E，

?i?1???cm,x?Em其中ci?0（i?1,2,?,m）都为常数，?Ei(x)为E为全集时Ei的示性（特征）函数，则称f在可测集E上的一个非负简单函数。

试利用4“可测集的直积的可测性及测度的计算公式”解决下面的问题：设f是按定义2定义的可测集E上的非负简单函数，Gp?f,E?的含义如定义1，则

（1）Gp?f,E???Ei?[0,ci)，其中Ei?[0,ci)（i?1,2,?,m）互不相交；

i?1m（2）Gp?f,E?是R上的可测集；

2（3）mGp?f,E??

?c?mE。

iii?1m四、记住一个在构造反例时有用的结论：对任意E?Rn，只要m*E?0，则存在

。 E1?E，使得E1为不可测集（即Rn中一定存在不可测集）

自测题：

据理说明：

（1）为什么R中的零测集中一定不存在不可测子集？

（2）为什么R中的不可测集总有外侧度，且外侧度一定大于零？ （3）为什么R中的不可测集一定是不可数集？

nnn