2020届江苏省高考数学二轮复习课时达标训练（十三）数列中的基本量计算

课时达标训练(十三) 数列中的基本量计算

A组

1．(2018·南京三模)若等比数列{an}的前n项和为Sn，n∈N，且a1＝1，S6＝3S3，则a7的值为________． 解析：由S6＝(a1＋a2＋a3)＋a1q＋a2q＋a3q＝(a1＋a2＋a3)(1＋q)＝(1＋q)S3＝3S3，得(1＋q)S3＝3S3.因为S3＝a1(1＋q＋q)≠0，所以q＝2，得a7＝4.

答案：4

1

2．(2019·苏北三市一模)在等差数列{an}中，若a5＝，8a6＋2a4＝a2，则{an}的前6项和S6的值为

2________．

1??a5＝a1＋4d＝，12解析：设等差数列{an}的公差为d，由a5＝，8a6＋2a4＝a2，得?

2

??8（a1＋5d）＋2（a1＋3d）＝a1＋d，

5a1＝，

26×（6－1）15

解得所以S6＝6a1＋d＝.

221

d＝－，2

2

33

3

3

3

3

3

*

?????

15答案： 2

3．(2018·苏中三市、苏北四市三调)已知{an}是等比数列，Sn是其前n项和．若a3＝2，S12＝4S6，则a9的值为________．

a1（1－q12）a1（1－q6）a1

解析：由S12＝4S6，当q＝1，显然不成立，所以q≠1，则＝4，因为≠0，

1－q1－q1－q所以1－q＝4(1－q)，即(1－q)(q－3)＝0，所以q＝3或q＝－1，所以a9＝a3q＝6或2.

答案：2或6

4．若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝________． 解析：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 则a4＝－1＋3d＝8，解得d＝3；

12

6

6

6

6

6

a2

b2

b4＝－1·q3＝8，解得q＝－2.

所以a2＝－1＋3＝2，

b2＝－1×(－2)＝2，

所以＝1. 答案：1

a2b2

5．(2019·无锡期末)设公差不为零的等差数列{an}满足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，则a10＝________．

解析：设数列{an}的公差为d，d≠0，因为a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，所以(a2－1)＝(a1－1)(a4

－1)，即(6－d)＝(6－2d)(6＋d)，化简得3d－6d＝0，因为d≠0，所以d＝2，所以a10＝a3＋7d＝7＋14＝21.

答案：21

6．(2018·常州期末)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．

解析：依题意有a2a4＝a3，a2a3a4＝(a3)＝a2＋a3＋a4≥a3＋2a2a4＝3a3，整理有a3(a3－3)≥0，因为

2

3

2

2

2

2

an>0，所以a3≥3，所以a3的最小值为3.

答案：3

7．等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n－16n＋15(n≥2，n∈N)，若对任意n∈N，总有Sn≤Sk，则k的值是________．

解析：在等差数列{an}中，设公差为d，因为“an－Sn＝a1＋(n－1)d－?a1n＋

*

2

*

*

?

?

n（n－1）?2

d?＝n－16n2

?

＋15(n≥2，n∈N)”的二次项系数为1，所以－＝1，即公差d＝－2，令n＝2，得a1＝13，所以前n项

2和Sn＝13n＋dn（n－1）

2

×(－2)＝14n－n＝49－(n－7)，故前7项和最大，所以k＝7.

22

答案：7

8．(2019·苏锡常镇四市一模)中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马最后一天行走的里程数为________．

1

解析：由题意可知，这匹马每天行走的里程数构成等比数列，设为{an}，易知公比q＝，则S7＝

21?127a1（1－q2）6464?1?6700?6

＝2a1?1－?＝a1＝700，所以a1＝700×，所以a7＝a1q＝700××??＝，所以

1－q127127?2?127?128?64700这匹马最后一天行走的里程数为. 127

700答案： 127

9．(2018·扬州期末)已知各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3a2，则S3＝________．

解析：设各项都是正数的等比数列{an}的公比为q，则q>0，且a1>0，由4a4，a3，6a5成等差数列，

2

111122

得2a3＝4a4＋6a5，即2a3＝4a3q＋6a3q，解得q＝.又由a3＝3a2，解得a1＝，所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋

3339113

＝. 2727

13答案： 27

10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．

解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又

S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋

10×98

＝10×16＋×＝200.

29

答案：200

8

910×9

d2

11．(2018·扬州期末)在正项等比数列{an}中，若a4＋a3－2a2－2a1＝6，则a5＋a6的最小值为________． 解析：令a1＋a2＝t(t>0)，则a4＋a3－2a2－2a1＝6可化为tq－2t＝6(其中q为公比)，所以t＝(q＞2)，所以a5＋a6＝tq＝

≥6?2

4

2

6

q－2

2

64?42?q＝6?2＋（q－2）＋4? q－2?q－2?

2

?

?4?2

·（q－2）＋4?＝48(当且仅当q＝2时等号成立)． q－2?

2

答案：48

12．(2019·苏州中学模拟)数列{an}的前n项和为Sn，满足an≠0，(an＋1－an)Sn＋1＝(an＋1－2

n－1?2an＋1－an?2Tn＋1

?的前n项和为Tn，则n∈N.设数列?＝________． n－1

an＋12??

*

n－1

an)an＋1，

解析：∵(an＋1－an)Sn＋1＝(an＋1－2则－＝1，－＝2，…，－

n－1

Sn＋1Snan)an＋1，∴anSn＋1－an＋1Sn＝2n－1an＋1an，又an≠0，∴－＝2n－1.

an＋1anS2S1a2a1S3S2a3a2SnSn－1n－2SnS1n－2

＝2(n≥2，n∈N*)．以上各式相加，得－＝1＋2＋…＋2(n≥2，

anan－1ana1

S1Snn∈N*)．∵＝1，∴－1＝2n－1－1，∴Sn＝2n－1an(n≥2，n∈N*)．∵n＝1时上式也成立，∴Sn＝2n－

a1an1

an(n∈N*)．∴Sn＋1＝2nan＋1.两式相减，得an＋1＝2nan＋1－2n－1an，即(2n－1)an＋1＝2n－1an，则

n－1

2an＋1－an1

＝n－1，an＋12

11112Tn＋11

∴Tn＝1＋＋2＋…＋n－1＝2－n－1，∴＝Tn＋n－1＝2. n－1222222

答案：2

??a，a≤b，13．(2019·海安中学模拟)记min {a，b}＝?设数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}

?b，b

是公比为2的等比数列，且a1＝0，b1＝1，cn＝min {an，bn}，n∈N，若数列{cn}中存在连续三项成等比数列，则d的最小值为________．

*

解析：法一：由题意知an＝a1＋(n－1)d＝(n－1)d，bn＝2

n－1

.数列{cn}中存在连续三项成等比数列，

不可能是等差数列{an}中连续的三项，理由：假设是等差数列{an}中连续的三项，分别记为(k－1)d，kd，(k＋1)d，k≥2，k∈N，则kd＝(k－1)d·(k＋1)d，得d＝0，an＝0，所以cn＝0，与题意不相符．

又数列{an}中的项为0，d，2d，3d，…，数列{bn}中的项为1，2，4，8，…，所以当d≤2时，cn＝

*

22

an，不满足题意；当2

＝an，不满足题意；当d≥时，数列{cn}的前四项为0，2，4，8，此时，c2，c3，c4成等比数列，满足题

38

意．综上，d的最小值为.

3

法二：在平面直角坐标系内，点(n，bn)在指数函数y＝2

x－1

83

的图象上，点(n，an)在过点(1，0)，且

斜率为d的直线l上．根据min {a，b}的意义知，{cn}取位于两支曲线中下方曲线上的点的纵坐标．易知数列{cn}中连续三项成等比数列，不可能是等差数列{an}中的连续三项．如图，当直线l过点(4，8)时，

c2＝b2＝2，c3＝b3＝4，c4＝b4＝8，第一次满足{cn}中连续三项成等比数列，此时直线l的斜率为，即d8

取得最小值，最小值为.

3

83

8答案：

3

5

14．(2018·无锡期末)已知等比数列{an}满足a2a5＝2a3，且a4，，2a7成等差数列，则a1·a2·…·an4的最大值为________．

解析：设等比数列{an}的公比为q， 根据等比数列的性质可得a2a5＝a3a4＝2a3， 由于a3≠0，可得a4＝2. 5

因为a4，，2a7成等差数列，

451

所以2×＝a4＋2a7，可得a7＝，

44

133

由a7＝a4q，可得q＝，由a4＝a1q，可得a1＝16，

2