2019年全国高考数学·分类汇编 专题09 三角函数及其性质(解析版)

专题09 三角函数及其性质

【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以A．f(x)=|cos2x| C．f(x)=cos|x| 【答案】A

【母题来源二】【2018年高考全国卷II理数】若f?x??cosx?sinx在??a,a?是减函数，则a的最大值是 A．

?2为周期且在区间(

?4，

?2)单调递增的是

B．f(x)=|sin2x| D．f(x)=sin|x|

ππ3π B． C． D．π 424【答案】A

【母题来源三】【2017年高考全国Ⅱ理数】函数f?x??sinx?3cosx?23?π?(x??0,?)的最大值是 . 4?2?【答案】1

【命题意图】 三角函数的图象与性质,高考重点考查三角函数的性质、图象及平移变换、运算能力、等价转化及数学结合思想. 学￥科网

【命题规律】 高考对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等或中等以下,热点是三角函数的值域、最值、单调性、对称性及三角函数解析式的确定,且常常与三角变换结合在一起考查. 【答题模板】解答本类题目,以2017年高考真题为例,一般考虑如下三步：

第一步：把所给函数化为最简 化简的思路一般是化分式为整式,化高次为低次,且是项数尽可能的少,配方与辅助角公式是常用的2种方法.本题是通过配方化简：

f?x??1?cos2x?3cosx?3231)?1； ??cos2x?3cosx???(cosx?244第二步：借助函数性质,求出最大值 由x?[0,]可得cosx?[0,1],根据二次函数性质可得当cosx??23时,函数2f(x)取得最大值1．

1

【方法总结】 1．五点法作图

找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：

（1）先确定最小正周期T=

2??,在一个周期内作出图象；

（2）令X=?x??,令X分别取0，

?3?,?,,2?,求出对应的x值，列表如下： 22

由此可得五个关键点；

（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y?Asin(?x??)的简图.

2

2．正弦函数y?sinx,余弦函数y?cosx,正切函数y?tanx的图象与性质 函数 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 R R ????xx?k??,k?Z? 2??值域 ??1,1? 当x?2kπ???1,1? R 最值 π?k?Z?时，当x?2k??k?Z?时，ymax?1；2当x?2k????k?Z?时， 既无最大值，也无最小值 ymax?1；当 x?2k?? ??k?Z?时，2ymin??1． ymin??1． 周期性 奇偶性 2? sin??x???sinx,奇函数 在2? cos??x??cosx，偶函数 ? tan??x???tanx，奇函数 ??[2k??,2k??](k?Z)22单调性 上是增函数；在在?2k???,2k???k?Z?上是增函数；在?2k?,2k?????k?Z?在(k????,k??)(k?Z)上是22?3?[2k??,2k??](k?Z)上是减函数． 22上是减函数． 对称中心(k?,0)(k?Z) 对称轴x?k??对称性 对称中心(k??增函数． ??k?Z?，2?,0)(k?Z) 2对称中心(k?,0)(k?Z) 2对称轴x?k??k?Z?，既是中心对称图形又是轴对称图形. 无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形. 既是中心对称图形又是轴对称图形.

3

3．变换作图法作y?Asin(?x??)（A>0,ω>0）的图象

变换作图法作y?Asin(?x??)（A>0,ω>0）的图象是指由函数y?sinx的图象通过变换得到

y?Asin(?x??)（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如图.

由上可知函数y=sinx到y?Asin(?x??)的图象的变换途径为：相位变换→周期变化→振幅变换，或周期变换→相位变化→振幅变换.

4．函数y?Asin(?x??)（A>0,ω>0）的性质

（1）奇偶性：?=k?时，函数y?Asin(?x??)为奇函数；?=k??（2）周期性：y?Asin(?x??)存在周期性，其最小正周期为T=（3）单调性：根据y=sint和t=?x??的单调性来研究，由?由

?时，函数y?Asin(?x??)为偶函数. 2 .

2????+2k???x????2k?,k?Z得单调增区间；22???+2k???x????2k?,k?Z得单调减区间. 22（4）对称性：利用y=sinx的对称中心为(k?,0)(k?Z)求解，令?x???k??k?Ζ?，求得x.

利用y=sinx的对称轴为x?k??5．三角函数值域的不同求法

①利用sin x和cos x的值域直接求；

②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域； ③通过换元,转换成二次函数求值域．

6．已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调

性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错． 7．已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．

8．三角函数图象的对称性：对于函数y＝Asin(ωx＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．

??(k?Z)求解，令?x???k?+?k?Ζ?，得其对称轴. 22 4