傅里叶变换用于光波场和光学系统的关键--曹江勇

傅利叶变换用于傅利叶光学的关键之处

单位：吉首大学物理与机电工程学院2011级物理学应用物 理班

摘要：

傅里叶变换是一门数学工具但其在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域也有着广泛的应用。其中将傅里叶变换用在光学中是现代光学的重大突破。考虑到光波可以用波函数来描述，而波函数又可以用傅利叶级数进行展开，这样即可以把这样的波函数看做成许多个基元函数的组合，而这些基元函数都是可以表示成和频率相关的复函数。这样的话我们便可以用这些基元函数的线性叠加来表示出一个波函数，有时研究单个的基元函数会比研究整个原函数要方便的多，正是这样的思想才催生出傅里叶变换。同样在光学领域上，在某些情况下探究某光波场或光学系统的相关函数在空间域显得很困难，而在频域来研究却会简单的多。因此我们需要一种能实现函数空域和频域相互转换的方法。傅里叶变换就是能实现这一功能的数学工具，它是一特殊的积分变换，即可把空域上的函数表示成其复指数函数在整个频率区间的积分和，也可以把频域上单独的基元复指数函数累加成空域上的函数。这样我们对光学领域的研究就不仅仅停留在空域上的研究而是扩展到空域和频域上，如果把光学在空域上的研究当做其研究的一只手臂，那么光学在频域上的研究就相当于其另一只手臂，两只手臂的使用便可事半工倍。正是这样便

可以在光学领域中解决更多一系列难题，将光学领域应用扩展的更广，取得新的发展突破。所以才衍生出今天的这一门新的光学分支学科“傅利叶光学”。这就是傅里叶变换这一数学工具用与光波场和光学系统而导致出新的光学分支“傅里叶光学”关键之处。

关键词：傅里叶分析、空域函数、频域函数、频谱

引言

19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院呈交的关于热传导的著名论文中提出了傅利叶级数，其意义是无法估量的。今天傅里叶分析方法已经广泛用于物理学及工程学科的各个领域。

本文着重研究傅里叶分析方法中傅里叶变换在光学领域的关键之处，讲解傅里叶变换作为一数学工具是如何与光学领域相联系，怎样方便光学领域的研究，以至出现光学领域的新分支“傅利叶光学”。通过这样的研究可以进一步深化对傅里叶分析方法及傅利叶变换的认识，加深认识傅利叶变换在光学研究中的物理意义，巩固所学知识，以便以后能运用好“傅里叶光学”知识去解决一些实际问题。 一.傅利叶变换简概

傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：

正文

任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。

和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。 二．傅里叶变换在光波场中的应用

1.对于一普通光波场来说，一般都会包含很多波长的光波，为了方便研究，我们从单色光研究开始，如果能知道该光波长所有单色光的光波场的分布，那么这个光波场我们就可以通过这些单色光波场叠加得到。

对于一个普通的单色光波场中空间某点P在t 时刻的光振动u( P，t)课表示为

u(P,t)?a(p)cos[2????(p)]

其中ν为光波的时间频率；a（P）和φ（P）分别是P点光振动的振幅和初相位

对

u（P，t）在数学上进行变换写成复指数函数为

u(P,t)?Re{a(p)ej?(p)e?2??t}

?2??te从式中可以知道因子与空间位置P无关，这样也就意味着在空

?2??te间任何位置只要时间相同，对该点振幅影响情况都一样，而且

其形式简单，容易分析，所以我们可以把它提出来单独考虑，于是我

j?(p)a(p)e们先可以研究函数中的部分，所以对其定义一个新物理j?(p)U(P)?a(p)e量为单色光波场的复振幅。它只与空间位置有

关。

2.利用光波场复振幅理论，可以方便对光波场的研究，例如，对于空间中的一平面波我们可以用复振幅表示为 U(x,y,z)?aexp[jk(x?co?sy?c?osz? co若令该波波矢位于x0z平面，则该平面波复振幅可表示成 U(x,y)?因为式中

Aexp(jkxcos?)

jk是定值当相位相同时即xcos??c

将c?k，不同的c值就会对应不同的相位差，若取相差为2?所对应相邻等相位的空间中的相位线为

2??x??kcos?cos?

这表示的是空间中出现相位周期时所占的空间尺度（因为它们的相差都为2π），因为?若对其取倒数，则可表示为

1cos?fx??x?

它的意义是指空间单位长度内出现相位相同的周期数。这样就可以把该平面波表示成

同理推广到平面波一般情况

U(x,y)?Aexp(j2?fxx)