2019高考数学理科二轮复习第一篇微型专题练习：微专题19 直线与椭圆的综合

A. B.

C.

D.

解析? 依题意,知b=2,|kc|=2.设圆心到直线l的距离为d,则

L=2 - ≥

,解得

d2≤ .

又因为d=

,所以 ≤,解得k≥.因为e= =

2

2

=,

所以0

答案? B

.故选

B.

7.如图,已知椭圆C1:+y=1,双曲线C2: - =1(a>0,b>0),若以C1的

2

长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与C2的渐近线的两个交点将线段AB三等分,则C2的离心率为( ). A. B.5 C. D.

解析? 设直线AB与椭圆在第一象限内的交点为P,A( cos

θ, sin θ),其中θ∈ ,

则P 所以

.

因为点P在椭圆上,

+ sin2θ=1,解得sin2θ= ,cos2θ= ,所以tan θ=2,即

=2,所以e= = ,故选A.

答案? A

8.已知椭圆+ =1(0

交椭圆于A,B两点,若|BF2|+|AF2|的最大值为5,则b的值是( ). A.1 B. C. D.

解析? 由椭圆的方程知,半长轴的长为a=2,由椭圆的定义知,|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=8,所以|AB|=8-(|AF2|+|BF2| ≥3.由椭圆的性质知,过椭圆焦点的弦中,通径最短,即故选D.

答案? D

9.若斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大

=3,可求得b2=3,即b= ,值为( ). A.2 B. C. D.

解析? 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程

为y=x+t,

由 消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0, 则x1+x2=-t,x1x2=

-

.

∴ AB = |x1-x2|= · -

= · - - ·

-

=

· - ,

当t=0时,|AB|max=答案? C

,故选

C.

10.已知椭圆Ω:+=1的右焦点为F,过点F的两条互相垂直的直线

l1,l2, l1与椭圆Ω相交于点A,B,l2与椭圆Ω相交于点C,D,则下列

叙述不正确的是( ).

A.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为7

B.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为

C.弦长|AB|存在最大值,且最大值为4 D.弦长|AB|不存在最小值

解析? 当直线l1,l2一个斜率为零,一个斜率不存在时,可得AB即为长轴,CD为通径,则|AB|+|CD|=7,故A是正确的.

当直线l1,l2的斜率存在时,不妨令直线l1的斜率为k(k≠0 由

题意知l1的直线方程为y=k(x-1),联立方程

消去y得

-

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理知,x1+x2= ,x1x2= - , 1

所以|AB|= ·|x

-x2|=

,同理 |CD|=

,特别

地,当k2=1时,|AB|=|CD|=,即|AB|+|CD|=,故B正确.

由|AB|=

=3+ ,故当k=0时,|AB|取到最大值4,故C正

确.由|AB|=3+ >3,但当直线AB的斜率不存在时,|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D选项不对.

答案? D

二、填空题

11.已知椭圆C: + =1(a>b>0),F( ,0)为其右焦点,过F且垂直于x

轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为 .

解析? 由题意得

解得

∴椭圆C的方程为 + =1.

答案?

+ =1

12.已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线

PQ过原点O 与MN平行,且PQ与椭圆交于P,Q两点,则

= .

解析? 由题意知F(-1,0),当直线MN斜率不存在

时,|MN|=

= ,|PQ|=2b=2,则 =2 .

当直线MN斜率存在时,设直线MN的斜率为k,则直线MN的方程 为y=k(x+1),设M(x1,y1),N(x2,y2),联立 整理得

(2k+1)x+4kx+2k-2=0,由韦达定理得x1+x2=所以

2

2

2

2

-

,x1x2= -

, |MN|= ·|x1

-x2|= ·

- =

.

易知直线PQ的方程为y=kx,设P(x3,y3),Q(x4,y4),联立

22

解得x= ,y= ,

则|OP|=x+y=222

,所以|PQ|=2|OP|,则

|PQ|=4|OP|=22

,

=2 .

答案? 2

三、解答题

13.点A为椭圆 + =1(a>b>0)上的一个动点,弦AB、AC分别过椭圆

的左、右焦点F1、F2.当AC⊥x轴时,恰好|AF1|=2|AF2|. (1)求该椭圆的离心率.

(2)设 =λ1 , =λ2 ,λ1+λ2是否为定值?若是,则求出该定值;若不是,请说明理由.